Plans dans R4 (débutant)

le_débutant
le_débutant
dans Algèbre
Bonjour,
dans un exercice, je dois déterminer l'intersection de deux plans de R4 dont on me donne pour chacun deux équations cartésiennes ; je trouve une seule solution (x,y,z,t) en résolvant un système à 4 équations. Que représente ce quadruplet ? J'étais tenté de l'appeler point, en me disant que dans R4 il ne fallait "pas penser R3, que deux plans pouvaient s'intersecter en un point" (...), mais je ne m'y fais pas.
En revenant à la définition d'un espace affine : "c'est un ensemble E de direction E (espace vectoriel) muni d'une application de ExE dans E, qui à un couple (x,y) attribue le vecteur xy. Un élément de E est appelé point." Cela signifie-t-il que le couple (x,y) de ExE est un couple de deux points ?

Réponses

  • le_débutant
    le_débutant
    Bon si je prends (M,N) comme couple de points, je construis mon vecteur MN.
    Dans R4, MN a quatre composantes, les points M et N également (quatre coordonnées).
    Ce quadruplet déterminé, que représente-t-il ? un point ou un vecteur ?
    Merci pour votre aide
  • ev
    ev
    Bonjour Deb.

    Ta question est bien confuse. Un exemple serait le bienvenu.

    Un quadruplet est un élément de \( \R^4 \) (je considère des espaces réels). C'est donc un point (un élément) de l'espace vectoriel \( \R^4 \), donc un vecteur.

    Bref, on voit bien que les vecteurs sont des points et inversement.

    Un vecteur (d'un espace affine) peut être défini par un couple de points mais deux couples de points peuvent définir le même vecteur.

    Analogie : Un nombre réel \( x \) peut être défini par deux nombres réels \( a \) et \( b \) par la relation \( x = b - a \). Mais un autre couple \( (a',b') \) va défini \( x \) par \( x = b' - a' \), à condition d'avoir \( b' - b = a' - a \).

    Suis-je assez clair ?

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • le_débutant
    le_débutant
    Bonjour ev,
    oui je comprends - je peux voir cela aussi avec deux vecteurs "libres" dans l'espace, AB et CD égaux, où A,B,C et D sont des points distincts.
    Voici les deux systèmes d'équations qui définissent mes plans P1 et P2:

    P1 : -3x -y +4t = 3 et -z + t = 4

    P2 : 4x -4z +t = 20 et 5y - 4z =20

    Pour déterminer l'intersection, je résous le système de quatre équations, et je trouve une unique solution (x,y,z,t) où x = 121a ; y=124a ; z=60a ; t=136a avec a=1/19.
    J'appelle Q cette solution ; d'emblée j'appelais cela un point, mais j'ai un doute puisque c'est l'intersection de deux plans.

    On me demande ensuite de déterminer le plus petit sous-espace de R4 qui contient P1 et P2.
    J'exprime P1 sous la forme Q+E1 où E1 est un sous espace vectoriel de R4, E1 = Vect{ (1,-3,0,0) ; (1,1,1,1) }
    et P2 sous la forme Q+E2 où E2 = Vect{ (5,4,5,0) ; (-1,0,0,4) }.
    Le plus petit sous-espace qui contient P1 et P2 est alors Q + Vect{ (1,-3,0,0) ; (1,1,1,1) ; (5,4,5,0) ; (-1,0,0,4) } ; je prends la matrice formée par ces quatre derniers vecteurs, je trouve un rang égal à 4 ; j'en déduis que le plus petit sous-espace en question est R4.
  • ev
    ev
    Oui, dans la mesure où ton système admet une solution unique, tu peux tout de suite affirmer que tes quatre vecteurs forment une famille libre.

    Je confirme le tout,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • le_débutant
    le_débutant
    Merci bien ev ; je reviens à cette histoire de point Q. Dans R3, l'espace "courant", si j'ai deux plans qui se "croisent" sans être confondus, l'intersection est une droite. Et dans R4, c'est cette "dimension" t supplémentaire qui fait que l'intersection de mes deux plans peut être un point ?
    Est-ce que c'est "visualisable" ?
    Un plan dans R4 n'est pas un plan comme on "le conçoit" dans R3 ?
  • gerard0
    gerard0
    Un plan dans $\R^3$ est de codimension 1, l'analogue en dimension 4 est un hyperplan, de dimension 3, donné par un hyperplan vectoriel et un point, ou par une équation linéaire ax+by+cz+dt=0.

    Cordialement.
  • le_débutant
    le_débutant
    Merci pour l'aiguillage gerard0 ; du coup j'imagine deux sphères qui sont des hyperplans dans R4 et qui se touchent en un point
  • gerard0
    gerard0
    Bizarre, ce que tu racontes ...
    Dans $\R^4$, les hyperplans sont de dimension 3. Deux hyperplans distincts ont une intersection de dimension 2.

    Difficile de se représenter $\R^4$ comme on le fait (mentalement) pour $\R^3$. Il vaut mieux calculer.
    Pour cela, une bonne formation en algèbre linéaire est utile, puis on voit les espaces affines.

    Cordialement.
  • le_débutant
    le_débutant
    Argh - je voulais parler de mes deux plans qui se touchent en un point dans R4, qui ne sont pas des hyperplans.
    Oui, je suis d'accord concernant le chemin à suivre.
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