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Dérivée d'un déterminant [L3]

Envoyé par analysemaths 
Dérivée d'un déterminant [L3]
il y a dix jours
Bonjour à tous,

On considère une fonction $A$ : $\mathbb{R}\rightarrow M_n(\mathbb{C})$, $t\mapsto A(t)$, les $n^2$ fonctions composantes $A_j ^i : \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{C}$, $t\mapsto A_j^i(t)$ étant supposées dérivables.
Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie par $f(t)= \mathrm{det}(A(t))$.

On sait que le déterminant est une application multilinéaire, et j'imagine qu'il faudra bien utiliser cette propriété. Après, on demande la dérivée du déterminant, j'imagine qu'il y a aura de l'analyse, avec, peut être, du taux d'accroissement, ou approximation affine ...
Cependant, je ne sais pas du tout comment commencer.

Au fait, pourquoi les physiciens notent-ils $A_j ^i$ au lieu de $A_{ij}$ un coefficient de matrice ? Pourquoi le $i$ en haut et le $j$ en bas ?

Pourriez-vous m'aider ?
Merci à tous,
analysemaths.
Re: Dérivée d'un déterminant [L3]
il y a dix jours
Bonjour.

Je réponds juste à ta question sur la notation (*) :
La raison fondamentale est sans doute liée au calcul tensoriel. Je la laisse de côté. En voici une plus pragmatique, pour les débutants : $A_{211}$ est il i=2 et j=11 ou bien i=21 et j=1 ? Bien sûr, on peut mettre des virgules, ou autres signes, pour séparer. mais comme plus tard ce sera utile, autant utiliser une notation pratique (malgré le risque de confondre avec des puissances).

Cordialement.

(*) Pour ton exercice, à toi de commencer (règle du forum - en particulier la fin du 1), éventuellement en regardant des cas particuliers ($n=2, 3$).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix jours et a été effectuée par AD.
Re: Dérivée d'un déterminant [L3]
il y a dix jours
@gerard0

Merci pour ton explication.
Je vais regarder ces cas particuliers et voir ce que je peux faire avec.

Merci à tous,
analysemaths.

PS. - Par contre, les règles du forum, je les connais.
En aucun cas je ne me sens visé par ce qui est écrit à la fin du 1 : je ne suis pas un flemmard qui demande à ce qu'on lui fasse son exercice, mais plus un étudiant, en recherche d'une piste.
Re: Dérivée d'un déterminant [L3]
il y a dix jours
Dont acte.
Re: Dérivée d'un déterminant [L3]
il y a dix jours
Pour calculer ta dérivée, il est certainement judicieux d'utiliser la $n$-linéarité, et donc d'écrire ta matrice $$A(t) = (C_1(t), \dots, C_n(t))$$ où les $C_i$ sont les colonnes de $A$, puis d'écrire le taux d'accroissement ou au moins la différence entre deux valeurs...
Re: Dérivée d'un déterminant [L3]
il y a dix jours
avatar
Pour A inversible tu peux demontrer $\tfrac{d}{dt}\det(A(t))=tr\left(A(t)^{-1}\tfrac{d}{dt}A(t)\right)\det(A(t))$Dans le cas général, tu passes par densité pour retrouver la formule de Jacobi

--------------------------------------------------------------------------
[Comme ev, spécial coucou à remarque que je pense à toi. ]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix jours et a été effectuée par gebrane.
Re: Dérivée d'un déterminant [L3]
il y a dix jours
Bonsoir à tous,

J'ai fait un développement limité à l'ordre 1 de $f$ qui correspond à la dérivée : $f(t+h)=f(t)+hf'(t)+o(h)$. Je peux écrire :
$f(t+h)= \mathrm{det}(A)+h(\mathrm{det}(A))'+o(h)$.

Pour le cas $n=2$, si $\mathrm{det}(A)=\begin{vmatrix}
a&c\\
b&d\\
\end{vmatrix}$, on a $\mathrm{det}(A)=ad-bc$, et si on prend la dérivée de cette quantité, on a $(\mathrm{det}(A))'=ad'-b'c+a'd-b'c=\begin{vmatrix}
a'&c\\
b'&d
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
a&c'\\
b&d'\\
\end{vmatrix}$. Donc, j'obtiens quelque chose du type : $\begin{vmatrix}
a&c\\
b&d\\
\end{vmatrix}+h \left ( \begin{vmatrix}
a'&c\\
b'&d
\end{vmatrix} + \begin{vmatrix}
a&c'\\
b&d'\\
\end{vmatrix} \right ) + o(h)$.

La généralisation à l'ordre $n$ serait donc une dérivation par rapport à chacune des colonnes, c'est ce que j'en déduis.
Par contre, je ne sais pas trop si ma démonstration tient la route.

Question 1. - tout d'abord, est-elle juste ?
Question 2. - si vous avez quelque chose de plus élégant à me proposer, je suis preneur !

Merci à tous,
analysemaths.
Re: Dérivée d'un déterminant [L3]
il y a dix jours
Rebonsoir,

Je n'avais pas actualisé la page, je vous remercie pour toutes vos remarques. Je vais les étudier !

Cependant, j'ai quand même traité le cas $n=2$ en esquissant une potentielle généralisation.
Je vous laisse la consulter et la critiquer.

Merci à tous,
analysemaths.
Re: Dérivée d'un déterminant [L3]
il y a dix jours
C'est vrai pour toute forme multilinéaire $\Phi$ en les vecteurs $V_1(t),\ldots,V_n(t)$ : la dérivée par rapport à $t$ est
$$\Phi(V'_1(t),V_2(t),\ldots,V_n(t))+\Phi(V_1(t),V'_2(t),V_3(t),\ldots,V_n(t))+\cdots+\Phi(V_1(t),\ldots,V_{n-1}(t),V'_n(t))\;.$$
Re: Dérivée d'un déterminant [L3]
il y a dix jours
Rebonsoir à tous,

@Poirot. - d'accord, je ne savais pas que je pouvais juste considérer les colonnes. J'imagine que le cas $n=2$ que j'ai traité plus haut est correct, car cela revient à dire ce que vous m'avez conseillé de faire.

@gebrane. - merci pour ta formule, j'essaierai de la montrer quand j'aurai un peu plus de temps !

@GaBuZoMeu. - tu confirmes bien ce que dit Poirot !

Pourriez-vous quand même jeter un oeil à ce que j'ai fait, juste pour me conforter dans l'idée que je n'ai pas fait n'importe quoi ? ^^
Et, est ce que ce résultat se démontre, par utilisation de la formule générale du déterminant (celle avec le groupe symétrique) ?

Merci à tous,
analysemaths.
Re: Dérivée d'un déterminant [L3]
il y a dix jours
Pas besoin d'expliciter la formule pour le déterminant, utilise juste la multilinéarité : ça se passe exactement comme pour dériver un produit de fonctions (le produit est d'ailleurs un cas particulier de multilinéarité).
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