Produit scalaire hermitien

Bonsoir à tous,

Je suis bloqué sur une partie de cet exercice. Voici l'énoncé :
On définit sur $C([0,L],\mathbb{C})$ l'ensemble des fonctions continues de $[0,L]$ dans $\mathbb{C}$ la forme bilinéaire suivante : $(f,g)\mapsto (f|g)=\displaystyle \frac{1}{L} \int_{0}^{L} \overline{f}(x)g(x) \mathrm{d}x$.

1. - vérifier que $C([0,L],\mathbb{C})$ est un espace préhilbertien.
2. - vérifier que la suite de fonctions $(E_{n}(x)= e^{i n x\frac{2\pi}{L}})_{n\in\mathbb{N}}$ est un système orthonormé de $C([0,L],\mathbb{C})$.

Voici ce que j'ai fait :

Réponse à la question 1
- sesquilinéarité : soit $f_1, f_2, g_1, g_2 \in C([0,L],\mathbb{C}), \lambda, \mu \in \mathbb{C}$.
D'une part : $(\lambda f_1 +\mu f_2 | g_1) = \displaystyle \frac{1}{L} \int_{0}^{L} \overline{(\lambda f_1(x)+\mu f_2(x))}g_1(x) \mathrm{d}x = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} (\overline{\lambda}\overline{f_1}(x) g_1(x)+\overline{\mu}\overline{f_2}(x)g_1(x))\mathrm{d}x=\overline{\lambda}(f_1|g_1)+\overline{\mu}(f_2|g_1)$.
D'autre part : $(f_1|\lambda g_1 + \mu g_2)=\displaystyle\frac{\lambda}{L}\int_{0}^{L}\overline{f_1}(x)g_1 (x) \mathrm{d}x + \frac{\mu}{L} \int_{0}^{L} \overline{f_1}(x)g_2(x) \mathrm{d}x=\lambda (f_1|g_1)+\mu(f_1|g_2)$.
La forme est bien sesquilinéaire.
- hermiticité : il faut montrer que $(g|f)=\overline{(f|g)}$. Donc, $(g|f)=\displaystyle\frac{1}{L}\int_{0}^{L} \overline{g}(x)f(x)\mathrm{d}x = \overline{\frac{1}{L}\int_{0}^{L} g(x)\overline{f}(x)\mathrm{d}x} = \overline{\frac{1}{L}\int_{0}^{L}\overline{f}(x)g(x)\mathrm{d}x}=\overline{(f|g)}$. Ce qui montre que le produit scalaire est hermitien.
- positivité : $(f|f)=\displaystyle\frac{1}{L}\int_{0}^{L} |f(x)|^2 \mathrm{d}x >0$.
- définie : ?

Réponse à la question 2

J'ai calculé $(E_{n1}|E_{n2})=\displaystyle\frac{1}{L}\int_{0}^{L} \overline{e^{in_1x\frac{2\pi}{L}}}e^{in_2x\frac{2\pi}{L}}\mathrm{d}x = \frac{1}{L}\int_{0}^{L}e^{\frac{2i\pi}{L}x(n_2 -n_1)} \mathrm{d}x$.
Pour $n_1=n_2$, on trouve que $(E_{n1}|E_{n2})=1$. Pour $n_1\neq n_2$, en intégrant, on trouve que $(E_{n1}|E_{n2})=0$.
Est-ce correct ?

Question. - quelqu'un pourrait m'aider à montrer le caractère défini ?
Question. - un système orthonormé, est-ce pareil qu'une base orthonormée ?

Merci à tous,
analysemaths.