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Produit scalaire hermitien

Envoyé par analysemaths 
Produit scalaire hermitien
il y a treize jours
Bonsoir à tous,

Je suis bloqué sur une partie de cet exercice. Voici l'énoncé :
On définit sur $C([0,L],\mathbb{C})$ l'ensemble des fonctions continues de $[0,L]$ dans $\mathbb{C}$ la forme bilinéaire suivante : $(f,g)\mapsto (f|g)=\displaystyle \frac{1}{L} \int_{0}^{L} \overline{f}(x)g(x) \mathrm{d}x$.

1. - vérifier que $C([0,L],\mathbb{C})$ est un espace préhilbertien.
2. - vérifier que la suite de fonctions $(E_{n}(x)= e^{i n x\frac{2\pi}{L}})_{n\in\mathbb{N}}$ est un système orthonormé de $C([0,L],\mathbb{C})$.

Voici ce que j'ai fait :

Réponse à la question 1
- sesquilinéarité : soit $f_1, f_2, g_1, g_2 \in C([0,L],\mathbb{C}), \lambda, \mu \in \mathbb{C}$.
D'une part : $(\lambda f_1 +\mu f_2 | g_1) = \displaystyle \frac{1}{L} \int_{0}^{L} \overline{(\lambda f_1(x)+\mu f_2(x))}g_1(x) \mathrm{d}x = \frac{1}{L} \int_{0}^{L} (\overline{\lambda}\overline{f_1}(x) g_1(x)+\overline{\mu}\overline{f_2}(x)g_1(x))\mathrm{d}x=\overline{\lambda}(f_1|g_1)+\overline{\mu}(f_2|g_1)$.
D'autre part : $(f_1|\lambda g_1 + \mu g_2)=\displaystyle\frac{\lambda}{L}\int_{0}^{L}\overline{f_1}(x)g_1 (x) \mathrm{d}x + \frac{\mu}{L} \int_{0}^{L} \overline{f_1}(x)g_2(x) \mathrm{d}x=\lambda (f_1|g_1)+\mu(f_1|g_2)$.
La forme est bien sesquilinéaire.
- hermiticité : il faut montrer que $(g|f)=\overline{(f|g)}$. Donc, $(g|f)=\displaystyle\frac{1}{L}\int_{0}^{L} \overline{g}(x)f(x)\mathrm{d}x = \overline{\frac{1}{L}\int_{0}^{L} g(x)\overline{f}(x)\mathrm{d}x} = \overline{\frac{1}{L}\int_{0}^{L}\overline{f}(x)g(x)\mathrm{d}x}=\overline{(f|g)}$. Ce qui montre que le produit scalaire est hermitien.
- positivité : $(f|f)=\displaystyle\frac{1}{L}\int_{0}^{L} |f(x)|^2 \mathrm{d}x >0$.
- définie : ?

Réponse à la question 2

J'ai calculé $(E_{n1}|E_{n2})=\displaystyle\frac{1}{L}\int_{0}^{L} \overline{e^{in_1x\frac{2\pi}{L}}}e^{in_2x\frac{2\pi}{L}}\mathrm{d}x = \frac{1}{L}\int_{0}^{L}e^{\frac{2i\pi}{L}x(n_2 -n_1)} \mathrm{d}x$.
Pour $n_1=n_2$, on trouve que $(E_{n1}|E_{n2})=1$. Pour $n_1\neq n_2$, en intégrant, on trouve que $(E_{n1}|E_{n2})=0$.
Est-ce correct ?

Question. - quelqu'un pourrait m'aider à montrer le caractère défini ?
Question. - un système orthonormé, est-ce pareil qu'une base orthonormée ?

Merci à tous,
analysemaths.
Re: Produit scalaire hermitien
il y a treize jours
Si l'intégrale d'une fonction continue positive ou nulle sur un segment de longueur non nulle est nulle ....
Re: Produit scalaire hermitien
il y a treize jours
avatar
Bonsoir,

Je ne suis pas d'accord avec la positivité...

Cordialement,

Thierry
Re: Produit scalaire hermitien
il y a douze jours
Rebonsoir,

@GaBuZoMeu. - au temps pour moi ... J'avais oublié ce théorème d'intégrale de fonction continue sur un segment : soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Si $(\forall t\in [a,b], f(t)\geq 0$ et $\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d}t=0)$, alors : $\forall t\in [a,b], f(t)=0$.

@Thierry POMA : actuellement, je n'arrive pas à voir ce qui est faux dans mon calcul.
En prenant le produit scalaire $(f|f) = \displaystyle\frac{1}{L} \int_{0}^{L}\overline{f}(x)f(x) \mathrm{d}x$, et $\overline{f}(x)f(x)=|f(x)|^2$, d'après une propriété des nombres complexes. Et la quantité $|f(x)|^2$, n'est-elle pas toujours positive ?

Merci pour votre aide,
analysemaths.
Re: Produit scalaire hermitien
il y a douze jours
Bonsoir,
@analysemaths,
Dans la formule : $$(f|f)=\displaystyle\frac{1}{L}\int_{0}^{L} |f(x)|^2 \mathrm{d}x >0$$
Que signifie le signe $">"$ ?
Si tu en vois le sens, tu comprendra l'objection de Thierry POMA (que je salue).

A la question :
"un système orthonormé, est-ce pareil qu'une base orthonormée ?"
Je répondrai : si cela était pareil, alors pourquoi lui donne-t-on deux noms différents ?
Il doit y avoir quelque part dans ton cours la définition de "système orthonormé" et celle de "base orthonormée". Il te suffit de relire ces définitions pour répondre toi-même à ta question.

Cdt,
zephir.
Re: Produit scalaire hermitien
il y a douze jours
Bonjour à tous,

@zephyr @Thierry. - bien vu ! Il fallait écrire $\ge$.

Quant à la notion de système orthonormé, on ne voit pas tout en profondeur en cours, étant donné que je suis en licence de physique.

Merci beaucoup !
analysemaths.
Re: Produit scalaire hermitien
il y a douze jours
avatar
Bonjour

Dans l’espace à trois dimensions deux vecteurs orthogonaux ne forment pas une base.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a douze jours et a été effectuée par AD.
Re: Produit scalaire hermitien
il y a douze jours
Et plus généralement, une famille de vecteurs orthonormée forme toujours une famille libre, mais pas en général une base.
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