Fonctions injectives et surjectives
Bonjour, je suis bloquée sur un exercice sur les fonctions injectives et surjectives.
Exercice :
Soit E,F,G trois ensembles non vides et soit f:E va dans F et g:F va dans G deux fonctions.
1) Démontrer que si f et g sont injectives alors gof est injective
2) Démontrer que si gof est surjective et g est injective alors f est surjective
3) Déterminer des fonctions f et g telles que :
a) f est injective, g surjective et gof n'est pas injective.
b) f est surjective, g injective et gof n'est pas injective.
Avancement :
1) Soit x et y appartiennent à E, vérifiant (gof)(x) = (gof)(y)
Si (gof)(x) = (gof)(y) c'est à dire g(f(x)) = g(f(y))
comme g est injective, cela implique f(x) = f(y)
et comme f est injective, cela implique x=y
donc, gof est injective.
2) Soit x appartient à E et y appartient à F.
Comme gof(x) = g(f(x)) est surjective, g(f(x)) = g(y)
et comme g est injective, f(x)=y
Donc f est surjective.
Je ne suis pas sûre de mes résultats et je n'arrive pas à démarrer le 3. Merci de m'aider à avancer.
Exercice :
Soit E,F,G trois ensembles non vides et soit f:E va dans F et g:F va dans G deux fonctions.
1) Démontrer que si f et g sont injectives alors gof est injective
2) Démontrer que si gof est surjective et g est injective alors f est surjective
3) Déterminer des fonctions f et g telles que :
a) f est injective, g surjective et gof n'est pas injective.
b) f est surjective, g injective et gof n'est pas injective.
Avancement :
1) Soit x et y appartiennent à E, vérifiant (gof)(x) = (gof)(y)
Si (gof)(x) = (gof)(y) c'est à dire g(f(x)) = g(f(y))
comme g est injective, cela implique f(x) = f(y)
et comme f est injective, cela implique x=y
donc, gof est injective.
2) Soit x appartient à E et y appartient à F.
Comme gof(x) = g(f(x)) est surjective, g(f(x)) = g(y)
et comme g est injective, f(x)=y
Donc f est surjective.
Je ne suis pas sûre de mes résultats et je n'arrive pas à démarrer le 3. Merci de m'aider à avancer.
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Réponses
2) Ça ne va pas : si on définit $x$ et $y$ a priori, il n'y a aucune raison que $g(f(x))=g(y)$. Donc ça ne va pas.
Ce qu'il faut faire : montrer que $f$ est surjective. Il faut donc choisir $y\in F$ et trouver $x\in E$ tel que $y=f(x)$. On n'a donc pas de $x$ au départ. Comme on n'a rien d'autre à faire, on applique $g$ à $y$ et on obtient $g(y)\in G$. Il est temps d'utiliser les hypothèses...
3a) Comme on veut que $g\circ f$ ne soit pas injective, il faut au moins deux éléments dans $E$, disons $0$ et $1$. Comme $f$ est injective, il faut au moins deux éléments dans $F$ et ça va suffire. Disons $F=\{2,3\}$, et on pose (par exemple) $f(0)=2$ et $f(1)=3$. Reste à trouver $g$ et $G$ pour que $g$ soit surjective et $g\circ f$ non injective. Pas tellement le choix.
pour la question deux j'ai appliqué g à f(x)=y. J'ai donc obtenu g(f(x))=g(y).
Et on sait que gof(x) est surjective et g(y) injective cependant je n'arrive pas à voir comment la fonction f peut elle être surjective.
Pour la question 3, je n'arrive pas du tout à avancer.
Prière de ne pas reprendre ce que tu as fait qui n'aboutissait pas et de relire le message de Math Coss.
Cordialement.