Problème de Bâle et factorisation de polynôme

MatisseR · December 2017

Bonjour à tous,
Sur la page wipedia du problème de Bâle on trouve cette "démonstration" : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Problème_de_Bâle
Quelqu'un peut-il m'expliquer comment, à partir des racines d'une fonction, on peut exprimer cette fonction comme produit de ses racines ? J'espère que vous voyez ce que je veux dire.
Bonne journée.

[Correction du lien. AD] 70240

moduloP · December 2017

En fait, l'idée est polynomiale. Si tu as un polynôme $P(x) = \prod(x-a_i)$ alors le produit des racines (avec multiplicité) est $(-1)^nP(0)$ où $n$ est le degré de $P$.

Ici, le petit (énorme) problème c'est que la fonction sinus n'est pas un polynôme !

Heu, je ne suis pas certain d'avoir répondu a ta question !

ev · December 2017

Bonjour Matisse.

Première solution : On s'appelle Leonhard Euler et on n'a pas besoin de regarder à droite et à gauche pour traverser les carrefours. Parce qu'on conduit un très gros camion.

Deuxième solution : On s'appelle pas Leonhard Euler et on roule à bicyclette.
On doit se cogner le Théorème de factorisation de Weierstrass (ou Hadamard, deux chauffeurs de poids lourds de toutes façons).

Sinon, il existe des démonstrations "élémentaires" de ce produit qui permettent d'établir cette égalité sans descendre de sa mobylette.

Choisis ton poison.

e.v.

claude quitté · December 2017

Hello,
Sur mon écran, je ne vois pas la dernière ligne en dessous de ``le coefficient de $x^2$''.

C'est important de voir cette ligne ?

Du coup, cela m'a fait penser à l'item 20, page 419, de https://www.ime.usp.br/~pleite/pub/artigos/abhyankar/abhyankar.pdf. Dans ce point 20, Abhyankar rapporte la preuve d'Euler (preuve entre guillemets) de :
$$
\sum_{n \ge 0} {1 \over (2n+1)^2} = {\pi^2 \over 8}
$$
Aucun rapport avec la choucroute ? Possible et j'ai bien dit ``cela m'a fait penser''. De toutes manières, cela ne peut pas faire de mal de voir à la première page de l'article ``Historical Ramblings in Algebraic Geometry and Related Algebra'' la division en 3 catégories de l'algèbre (Relevant Algebra). Comme quoi on peut être un à la fois un grand géomètre et taquin. Question choucroute, on est Dimanche.

Poirot · December 2017

@MatisseR : comme dit par les intervenants avant moi, l'idée est qu'un polynôme se factorise selon ses racines. Cela reste vrai pour les fonctions entières d'ordre fini, voir le théorème de factorisation d'Hadamard, bien plus pratique que celui de Weierstrass. Ça permet de démontrer rigoureusement l'égalité (abusive chez Euler) dont tu parles, et en identifiant certains coefficients dans les développements de Taylor, on trouve la célèbre égalité d'Euler.

MatisseR · December 2017

Merci à tous, je pense avoir compris cette factorisation : pour les polynômes, par exemples si on considère un polynôme à plusieurs racines comme : X² - 1 = 0
On met ses racines en produit : on obtient : (x-1)(x+1)=0
Et si on a un polynôme à une seule solution comme :
x² + 2x +1 = 0, on met la solution dans un carré de cette manière : (x+1)² = 0. Est-ce que ces factorisations découlent du https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_factorisation_de_Weierstrass ou de celui d'Hadamard ?
Et du coup j'ai une question pour @Poirot, de quel polynôme partir pour prouver proprement l'égalité du dessus et la célèbre égalité d'Euler ?
Merci d'avance

Fin de partie · December 2017

MatisseR a écrit:

Et ducoup j'ai une question pour @Poirot, de quel polynôme partir pour prouver proprement l'égalité du dessus et la célèbre égalité d'Euler ?

La méthode consistant à prendre une série entière qu'on sait factoriser sous forme de produit infini et à faire une identification des coefficients n'est pas une méthode, telle qu'elle, qui prouve quelque chose.
Même du temps d'Euler cette "preuve" passait mal à ce que j'ai cru comprendre. Il a fourni au moins une autre preuve (qui est de nature différente) considérée comme correcte encore aujourd'hui.

PS:
Euler a utilisé cette méthode empirique pour calculer bon nombre de séries et en particulier:

$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}$

Poirot · December 2017

@MatisseR : justement, je dis que ce n'est pas à l'aide d'une factorisation de polynôme que l'on peut trouver cette formule comme l'a fait Euler, mais en factorisant une certaines fonction entière d'ordre fini (en l'occurrence $z \mapsto \frac{\sin z}{z}$).

MatisseR · December 2017

D'accord, j'y vois un peu plus clair même si c'est encore vague, merci beaucoup à tous
Cordialement

acetonik · December 2017

Bonsoir,
Voici un lien qui peut aider un peu
http://jf.burnol.free.fr/eulersinus.pdf
Cordialement

Fin de partie · December 2017

Ce que je comprends de la question de MatisseR est qu'il pense que la méthode donnée dans le document qu'il a mis en ligne, on considère qu'on a affaire à un "polynôme de degré infini" et on applique les formules qui relient les racines d'un polynôme à ses coefficients, est une méthode correcte. (le document précise bien que c'est formel)
Il faudrait trouver un contre-exemple pour que cela soit clair que cette méthode est incorrecte.

Cette "démonstration" est, je pense, une méthode qu'Euler a trouvée après avoir deviné la valeur de $\zeta(2)$ en fonction de $\pi$. Il est difficile d'avoir une bonne précision de $\zeta(2)$ , la série converge lentement. Euler en trouvant le moyen d'accélérer la convergence de cette série a réussi à obtenir un nombre suffisant de décimales pour deviner une formule.
Après il a du être bien embêté pour la démontrer et il s'est accroché à son idée (il y a des pages et des pages de formules obtenues par le même procédé dans ses oeuvres complètes). Mais surement conscient que sa "démonstration" ne valait pas tripette il a du passer surement beaucoup de temps à en trouver une autre (deux autres en fait je crois).

Eric · December 2017

Puisque l'on parle des démonstrations du problème de Bâles produites par Euler, en voici deux à coup de règle de L'Hospital.

Fin de partie · December 2017

Merci. Je la connaissais

Je cherche toujours (mais je pense que c'est en vain) une démonstration qui n'utilise pas:

1) de séries, autre le fait de convertir une intégrale en la série des inverses des carrés.
2) Pas d'intégrales doubles, pas d'intégrale à paramètres qu'on dérive.

En utilisant seulement un changement de variable ("unidimensionnel") , intégration par parties.

Il y a des intégrales "unidimensionnelles" qu'on ne sait pas, semble-t-il, calculer sans passer par une intégrale double (intégrale à paramètre qu'on va dériver). C'est agaçant.

Pour d'autres méthodes de calcul de cette constante:

https://math.stackexchange.com/questions/8337/different-methods-to-compute-sum-limits-k-1-infty-frac1k2-basel-pro?page=1

Eric · December 2017

Pour répondre à FdP sur ce qu'a fait Euler :
Il faut consulter un article de 1730 où Euler donne 6 décimales de $\zeta(2)$ en obtenant la série tronquée $\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}=\int\frac{dx}{x}\int\frac{1-x^n}{1-x}dx$. Et il ajoute qu'un calcul direct de six décimales nécessite plus de mille termes de la série.

La démonstration par le produit infini est donnée dans un article de 1734. Il n'a rien publié sur ce sujet entre ces deux articles.

Voir, par exemple, The Early Mathematics of Leonhard Euler de C. Edward Sandifer, MAA, 2007.