Problème de Bâle et factorisation de polynôme
Bonjour à tous,
Sur la page wipedia du problème de Bâle on trouve cette "démonstration" : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Problème_de_Bâle
Quelqu'un peut-il m'expliquer comment, à partir des racines d'une fonction, on peut exprimer cette fonction comme produit de ses racines ? J'espère que vous voyez ce que je veux dire.
Bonne journée.
[Correction du lien. AD]
Sur la page wipedia du problème de Bâle on trouve cette "démonstration" : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Problème_de_Bâle
Quelqu'un peut-il m'expliquer comment, à partir des racines d'une fonction, on peut exprimer cette fonction comme produit de ses racines ? J'espère que vous voyez ce que je veux dire.
Bonne journée.
[Correction du lien. AD]
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Réponses
Ici, le petit (énorme) problème c'est que la fonction sinus n'est pas un polynôme !
Heu, je ne suis pas certain d'avoir répondu a ta question !
Première solution : On s'appelle Leonhard Euler et on n'a pas besoin de regarder à droite et à gauche pour traverser les carrefours. Parce qu'on conduit un très gros camion.
Deuxième solution : On s'appelle pas Leonhard Euler et on roule à bicyclette.
On doit se cogner le Théorème de factorisation de Weierstrass (ou Hadamard, deux chauffeurs de poids lourds de toutes façons).
Sinon, il existe des démonstrations "élémentaires" de ce produit qui permettent d'établir cette égalité sans descendre de sa mobylette.
Choisis ton poison.
e.v.
Sur mon écran, je ne vois pas la dernière ligne en dessous de ``le coefficient de $x^2$''.
C'est important de voir cette ligne ?
Du coup, cela m'a fait penser à l'item 20, page 419, de https://www.ime.usp.br/~pleite/pub/artigos/abhyankar/abhyankar.pdf. Dans ce point 20, Abhyankar rapporte la preuve d'Euler (preuve entre guillemets) de :
$$
\sum_{n \ge 0} {1 \over (2n+1)^2} = {\pi^2 \over 8}
$$
Aucun rapport avec la choucroute ? Possible et j'ai bien dit ``cela m'a fait penser''. De toutes manières, cela ne peut pas faire de mal de voir à la première page de l'article ``Historical Ramblings in Algebraic Geometry and Related Algebra'' la division en 3 catégories de l'algèbre (Relevant Algebra). Comme quoi on peut être un à la fois un grand géomètre et taquin. Question choucroute, on est Dimanche.
On met ses racines en produit : on obtient : (x-1)(x+1)=0
Et si on a un polynôme à une seule solution comme :
x² + 2x +1 = 0, on met la solution dans un carré de cette manière : (x+1)² = 0. Est-ce que ces factorisations découlent du https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_factorisation_de_Weierstrass ou de celui d'Hadamard ?
Et du coup j'ai une question pour @Poirot, de quel polynôme partir pour prouver proprement l'égalité du dessus et la célèbre égalité d'Euler ?
Merci d'avance
La méthode consistant à prendre une série entière qu'on sait factoriser sous forme de produit infini et à faire une identification des coefficients n'est pas une méthode, telle qu'elle, qui prouve quelque chose.
Même du temps d'Euler cette "preuve" passait mal à ce que j'ai cru comprendre. Il a fourni au moins une autre preuve (qui est de nature différente) considérée comme correcte encore aujourd'hui.
PS:
Euler a utilisé cette méthode empirique pour calculer bon nombre de séries et en particulier:
$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}$
Cordialement
Voici un lien qui peut aider un peu
http://jf.burnol.free.fr/eulersinus.pdf
Cordialement
Il faudrait trouver un contre-exemple pour que cela soit clair que cette méthode est incorrecte.
Cette "démonstration" est, je pense, une méthode qu'Euler a trouvée après avoir deviné la valeur de $\zeta(2)$ en fonction de $\pi$. Il est difficile d'avoir une bonne précision de $\zeta(2)$ , la série converge lentement. Euler en trouvant le moyen d'accélérer la convergence de cette série a réussi à obtenir un nombre suffisant de décimales pour deviner une formule.
Après il a du être bien embêté pour la démontrer et il s'est accroché à son idée (il y a des pages et des pages de formules obtenues par le même procédé dans ses oeuvres complètes). Mais surement conscient que sa "démonstration" ne valait pas tripette il a du passer surement beaucoup de temps à en trouver une autre (deux autres en fait je crois).
Je cherche toujours (mais je pense que c'est en vain) une démonstration qui n'utilise pas:
1) de séries, autre le fait de convertir une intégrale en la série des inverses des carrés.
2) Pas d'intégrales doubles, pas d'intégrale à paramètres qu'on dérive.
En utilisant seulement un changement de variable ("unidimensionnel") , intégration par parties.
Il y a des intégrales "unidimensionnelles" qu'on ne sait pas, semble-t-il, calculer sans passer par une intégrale double (intégrale à paramètre qu'on va dériver). C'est agaçant.
Pour d'autres méthodes de calcul de cette constante:
https://math.stackexchange.com/questions/8337/different-methods-to-compute-sum-limits-k-1-infty-frac1k2-basel-pro?page=1
Il faut consulter un article de 1730 où Euler donne 6 décimales de $\zeta(2)$ en obtenant la série tronquée $\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}=\int\frac{dx}{x}\int\frac{1-x^n}{1-x}dx$. Et il ajoute qu'un calcul direct de six décimales nécessite plus de mille termes de la série.
La démonstration par le produit infini est donnée dans un article de 1734. Il n'a rien publié sur ce sujet entre ces deux articles.
Voir, par exemple, The Early Mathematics of Leonhard Euler de C. Edward Sandifer, MAA, 2007.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1400462,page=1