Vecteur propre
Bonjour,
Si nous prenons $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie.
Soit $\lambda$ une valeur propre de $f$. Soit $E_{\lambda}$ l'espace propre associé à $\lambda$. Soit $P$ un polynôme de $\mathbb{R}[X]$.
Comment montrer que tout vecteur de $E_{\lambda}$ est aussi un vecteur propre de $P(f)$ ?
Merci !
Si nous prenons $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie.
Soit $\lambda$ une valeur propre de $f$. Soit $E_{\lambda}$ l'espace propre associé à $\lambda$. Soit $P$ un polynôme de $\mathbb{R}[X]$.
Comment montrer que tout vecteur de $E_{\lambda}$ est aussi un vecteur propre de $P(f)$ ?
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Réponses
Soit $u \in E_{\lambda}$. On dit que $u$ est un vecteur propre ssi $\exists \lambda \in \mathbb{R}$ tel que $f(u) = \lambda u$.
Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ et soit $f$ un endomorphisme de $E$.
$P(f) = a_n f^n + ... + a_1 f^1 + a_o I_d$
Mais je ne vois pas quoi faire... Il faut que je détermine $P(f)(u)$ ?
A noter que je sais que par définition, $P(\lambda)$ est une valeur propre de $P(f)$.
Le fait que $P(\lambda)$ soit valeur propre de $P(f)$ n'est pas vrai "par définition". C'est justement ce que tu es en train de prouver.
Ton idée est un bon point de départ : prends un vecteur $u$ propre pour $f$, et... écris, tu verras bien.
Alors en rectifiant, c'est plutôt au départ " Soit $u \in E$ (et non $E_{\lambda}$).
Du coup @skilveg, en prenant un vecteur propre $u$ associé à $f$, j'obtiens au final $f^{p}(u) = \lambda^{p}(u)$.
Est-ce censé m'aider ?
Cordialement
Thierry
D'où $f(u) + f^{2}(u) = (\lambda + \lambda^2)u$
Mais je ne comprends toujours pas ce qu'il se passe..
d'où
$P(f)(u) = \lambda^2 (u) + 2 \lambda (u) - 3u = ( \lambda^2 + 2 \lambda - 3)u = P(\lambda)u$
Mais je ne vois toujours pas où cela doit me mener :-S
Du coup $E_\lambda$ c'est l'espace propre de $P(f)$ associé à $P(\lambda)$ ?