Vecteur propre

Tankario
Tankario
dans Algèbre
Bonjour,
Si nous prenons $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{R}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie.
Soit $\lambda$ une valeur propre de $f$. Soit $E_{\lambda}$ l'espace propre associé à $\lambda$. Soit $P$ un polynôme de $\mathbb{R}[X]$.

Comment montrer que tout vecteur de $E_{\lambda}$ est aussi un vecteur propre de $P(f)$ ?

Merci !

Réponses

  • skilveg
    skilveg
    Quelle est la définition d'un vecteur propre ? Quelle est la définition de $P(f)$ ?
  • Tankario
    Tankario
    Bonjour skilveg,

    Soit $u \in E_{\lambda}$. On dit que $u$ est un vecteur propre ssi $\exists \lambda \in \mathbb{R}$ tel que $f(u) = \lambda u$.

    Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ et soit $f$ un endomorphisme de $E$.
    $P(f) = a_n f^n + ... + a_1 f^1 + a_o I_d$

    Mais je ne vois pas quoi faire... Il faut que je détermine $P(f)(u)$ ?
    A noter que je sais que par définition, $P(\lambda)$ est une valeur propre de $P(f)$.
  • skilveg
    skilveg
    Ta définition de vecteur propre est incorrecte (sinon toutvecteur serait propre tout réel serait valeur propre).

    Le fait que $P(\lambda)$ soit valeur propre de $P(f)$ n'est pas vrai "par définition". C'est justement ce que tu es en train de prouver.

    Ton idée est un bon point de départ : prends un vecteur $u$ propre pour $f$, et... écris, tu verras bien.
  • Poirot
    Poirot
    Euh skilveg, sa définition est correcte à un point près, le vecteur doit être non nul. Je ne vois pas en quoi ce que Tankario a écrit s'applique à tout vecteur !
  • skilveg
    skilveg
    Oups, c'est corrigé.
  • Tankario
    Tankario
    Me revoilà!
    Alors en rectifiant, c'est plutôt au départ " Soit $u \in E$ (et non $E_{\lambda}$).

    Du coup @skilveg, en prenant un vecteur propre $u$ associé à $f$, j'obtiens au final $f^{p}(u) = \lambda^{p}(u)$.
    Est-ce censé m'aider ?
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Bonsoir,\[(\forall\,a)\left(a\in\text{sp}\,f\Longrightarrow(\exists\,u)(u\in\text{E}_a-\{0_\text{E}\}\text{ et }(\forall\,k)(k\in\N\Rightarrow{f^k(u)=a^k\,u})\Longrightarrow(\cdots)\right)\]Remarquer que $f^0=\text{id}_{\text{E}}$ et que $a^0=1$.

    Cordialement

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Poirot
    Poirot
    @Tankario : Tu as $f^p(u)= \lambda^p u$ pour tout entier positif $p$. Que dire maintenant de $f(u)+f^2(u)$ par exemple ? Si tu comprends ce qu'il se passe tu devrais en déduire facilement ce que tu veux avec un polynôme quelconque.
  • Tankario
    Tankario
    Alors j'ai $f(u) = \lambda u$ et $f^{2}(u) = \lambda^2 u$
    D'où $f(u) + f^{2}(u) = (\lambda + \lambda^2)u$
    Mais je ne comprends toujours pas ce qu'il se passe..
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Considérant $P=X^2+2\,X-3$, alors\[P(f)=\cdots\mbox{ et }P(f)(u)=\cdots\]
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Tankario
    Tankario
    $P(f) = f o f + 2f - 3 I_{d} = f^2 + 2f - 3 I_{d}$
    d'où
    $P(f)(u) = \lambda^2 (u) + 2 \lambda (u) - 3u = ( \lambda^2 + 2 \lambda - 3)u = P(\lambda)u$

    Mais je ne vois toujours pas où cela doit me mener :-S
  • Poirot
    Poirot
    Bah de manière générale, $P(f)(u) = P(\lambda)u$. Ça ne te suffit pas pour répondre à ta question ?
  • Tankario
    Tankario
    Merci à vous, je viens de saisir pas mal de choses du coup!
    Du coup $E_\lambda$ c'est l'espace propre de $P(f)$ associé à $P(\lambda)$ ?
  • Math Coss
    Math Coss
    En général, oui, mais pas toujours. Tu n'as montré qu'une seule inclusion : laquelle ? pourquoi l'autre n'est-elle pas toujours vraie ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Pas forcément. Tout ce qu'on peut dire a priori, c'est que $E_\lambda$ est contenu dans l'espace propre pour $P(f)$ associé à $P(\lambda)$.
  • skilveg
    skilveg
    $E_{\lambda}(P(f))$ n'est pas nécessairement égal à $E_{\lambda}(f)$ : imagine que $P(f) = \lambda \,\text{id}$.
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