Adjoint et produit scalaire hermitien
dans Algèbre
Bonjour à tous,
On munit l'ensemble $E$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$, $\mathcal{C}^\infty$ à décroissance rapide, du produit scalaire hermitien suivant : $(f,g)\mapsto (f|g)=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\overline{f}(x)g(x)\mathrm{d}x$.
Énoncé. -
1. - on définit sur $E$ l'opérateur linéaire : $L:y\mapsto L[y]$ avec $L[y](x)=y''(x)+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)$ ($a_0$ et $a_1$ sont aussi dans $E$). Trouver son adjoint. $L$ est-il auto-adjoint ?
2. - que donnent ces résultats appliqués à $L[y]=y''$ ou à une équation de Schrödinger unidimensionnelle stationnaire ?
La définition de l'adjoint que j'ai dans mon cours est la suivante : si $u\in \mathcal{L}(E)$, alors il existe un unique endomorphisme $u^\star$ de $E$ vérifiant : $\forall x,y\in E, (u(x)|y)=(x|u^\star (y))$. Pour la notion d'endomorphisme auto-adjoint, j'ai : $u$ est auto-adjoint si $u^\star = u$.
Mais ici, je suis un peu confus vis-à-vis des notations de l'énoncé, il y a $L[y](x)$, et ça ne ressemble pas à l'écriture que j'ai dans ma définition ...
Du coup, j'ai écrit $\forall x\in E,(L[f]|g)=(f|L^\star[g])$ en essayant de faire une analogie avec la définition, mais si ce que j'ai écrit est juste, je n'arrive pas non à voir pourquoi ... Je pense que c'est le changement de notation qui me trouble tant. Du coup, partant de cette base, j'ai écrit :
$(L[f]|g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{(f''(x)+a_1(x)f'(x)+a_0(x)f(x))}g(x)\mathrm{d}x$, et il faut que je montre que c'est égal à $(f|L^\star[g])$, ie. quelque chose du type $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{f}(x)\times(\ldots)\mathrm{d}x$ avec $(\ldots)$ une quantité qui dépend de $g$ ?
Question. - est ce que c'est juste ? Si oui, pourquoi ? (je n'aime pas faire d'analogie ... je préfère comprendre pourquoi il faut écrire cela).
Question. - je ne comprends pas ce que signifie le terme : "à décroissance rapide", je comprends que cela décroît, mais mathématiquement, comment cela se traduit (exponentielle décroissante ?) ?
Merci à tous,
analysemaths.
On munit l'ensemble $E$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$, $\mathcal{C}^\infty$ à décroissance rapide, du produit scalaire hermitien suivant : $(f,g)\mapsto (f|g)=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\overline{f}(x)g(x)\mathrm{d}x$.
Énoncé. -
1. - on définit sur $E$ l'opérateur linéaire : $L:y\mapsto L[y]$ avec $L[y](x)=y''(x)+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)$ ($a_0$ et $a_1$ sont aussi dans $E$). Trouver son adjoint. $L$ est-il auto-adjoint ?
2. - que donnent ces résultats appliqués à $L[y]=y''$ ou à une équation de Schrödinger unidimensionnelle stationnaire ?
La définition de l'adjoint que j'ai dans mon cours est la suivante : si $u\in \mathcal{L}(E)$, alors il existe un unique endomorphisme $u^\star$ de $E$ vérifiant : $\forall x,y\in E, (u(x)|y)=(x|u^\star (y))$. Pour la notion d'endomorphisme auto-adjoint, j'ai : $u$ est auto-adjoint si $u^\star = u$.
Mais ici, je suis un peu confus vis-à-vis des notations de l'énoncé, il y a $L[y](x)$, et ça ne ressemble pas à l'écriture que j'ai dans ma définition ...
Du coup, j'ai écrit $\forall x\in E,(L[f]|g)=(f|L^\star[g])$ en essayant de faire une analogie avec la définition, mais si ce que j'ai écrit est juste, je n'arrive pas non à voir pourquoi ... Je pense que c'est le changement de notation qui me trouble tant. Du coup, partant de cette base, j'ai écrit :
$(L[f]|g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{(f''(x)+a_1(x)f'(x)+a_0(x)f(x))}g(x)\mathrm{d}x$, et il faut que je montre que c'est égal à $(f|L^\star[g])$, ie. quelque chose du type $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{f}(x)\times(\ldots)\mathrm{d}x$ avec $(\ldots)$ une quantité qui dépend de $g$ ?
Question. - est ce que c'est juste ? Si oui, pourquoi ? (je n'aime pas faire d'analogie ... je préfère comprendre pourquoi il faut écrire cela).
Question. - je ne comprends pas ce que signifie le terme : "à décroissance rapide", je comprends que cela décroît, mais mathématiquement, comment cela se traduit (exponentielle décroissante ?) ?
Merci à tous,
analysemaths.
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Réponses
Voici ce que j'ai fait.
$(L[f]|g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{\left(f''(x)+a_1(x)f'(x)+a_0(x)f(x)\right)}g(x)\mathrm{d}x = $
$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \overline{f''(x)}g(x)\mathrm{d}x + \int_{-\infty}^{+\infty} \overline{a_1 (x)f'(x)}g(x)\mathrm{d}x+\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{a_0(x)f(x)}g(x)\mathrm{d}x$.
Ensuite, j'ai effectué des intégrations par parties :
$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{f''(x)}g(x)\mathrm{d}x=[\overline{f'(x)}g(x)]_{-\infty}^{+\infty} -[\overline{f(x)}g(x)]_{-\infty}^{+\infty}+\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{f(x)}g''(x)\mathrm{d}x$.
Puis, $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \overline{a_1(x)}g(x)\overline{f'(x)}\mathrm{d}x=[\overline{f(x)a_1(x)}g(x)]_{-\infty}^{+\infty}-\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\overline{a_1'(x)}g(x)+\overline{a_1(x)}g'(x)\right)\overline{f(x)}\mathrm{d}x$.
Au final, j'ai cette expression : $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \left(g''(x)-(ga_1)'(x)+\overline{a_0(x)}g(x)\right)\overline{f(x)}\mathrm{d}x$.
La définition de l'adjoint, c'est $(u(x)|y)=(x|u^\star(y))$, donc en appliquant la définition : $(L[f]|g)=(f|L^\star[g])$, ce qui fait que mon adjoint est $L^\star[g]$ ?
Merci à tous,
analysemaths.
@Poirot :
Oui, en effet, j'ai mal posé ma question.
En fait, je ne comprends pas comment l'expliciter à partir de ce que j'ai fait, car je ne vois pas le lien avec la définition ...
Je sais qu'il y a quelque chose qui me gène dans cette notion d'adjoint, mais je ne sais pas quoi.
Pour justifier ces intégrations par parties, comment doit-on procéder ?
Je sais qu'on peut passer par les intégrales partielles puis passer à la limite, ou alors, introduire une primitive connue ...
On sait que $f$ et $g$ sont $\mathcal{C}^\infty$, mais je sais pas si ça aide.
Et puis, on a pas de formule explicite pour $f$ et $g$. Donc, je suis un peu perplexe.
Un indice ?
Merci à tous,
analysemaths.
Après réflexion : $L^\star[g]=g''(x)-g'(x)\overline{a_1(x)}-(\overline{a_1(x)}-\overline{a_0(x)})y(x)$.
Est-ce correct ?
Pour justifier les intégrations par parties, je n'ai toujours pas d'idée pour le moment.
Merci à tous,
analysemaths.
Je vais plancher sur la justification de l'intégration par parties.
Merci beaucoup Poirot pour tes lumières !
analysemaths.