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Adjoint et produit scalaire hermitien

Envoyé par analysemaths 
Adjoint et produit scalaire hermitien
il y a neuf jours
Bonjour à tous,

On munit l'ensemble $E$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$, $\mathcal{C}^\infty$ à décroissance rapide, du produit scalaire hermitien suivant : $(f,g)\mapsto (f|g)=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\overline{f}(x)g(x)\mathrm{d}x$.

Énoncé. -
1. - on définit sur $E$ l'opérateur linéaire : $L:y\mapsto L[y]$ avec $L[y](x)=y''(x)+a_1(x)y'(x)+a_0(x)y(x)$ ($a_0$ et $a_1$ sont aussi dans $E$). Trouver son adjoint. $L$ est-il auto-adjoint ?
2. - que donnent ces résultats appliqués à $L[y]=y''$ ou à une équation de Schrödinger unidimensionnelle stationnaire ?

La définition de l'adjoint que j'ai dans mon cours est la suivante : si $u\in \mathcal{L}(E)$, alors il existe un unique endomorphisme $u^\star$ de $E$ vérifiant : $\forall x,y\in E, (u(x)|y)=(x|u^\star (y))$. Pour la notion d'endomorphisme auto-adjoint, j'ai : $u$ est auto-adjoint si $u^\star = u$.

Mais ici, je suis un peu confus vis-à-vis des notations de l'énoncé, il y a $L[y](x)$, et ça ne ressemble pas à l'écriture que j'ai dans ma définition ...

Du coup, j'ai écrit $\forall x\in E,(L[f]|g)=(f|L^\star[g])$ en essayant de faire une analogie avec la définition, mais si ce que j'ai écrit est juste, je n'arrive pas non à voir pourquoi ... Je pense que c'est le changement de notation qui me trouble tant. Du coup, partant de cette base, j'ai écrit :

$(L[f]|g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{(f''(x)+a_1(x)f'(x)+a_0(x)f(x))}g(x)\mathrm{d}x$, et il faut que je montre que c'est égal à $(f|L^\star[g])$, ie. quelque chose du type $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{f}(x)\times(\ldots)\mathrm{d}x$ avec $(\ldots)$ une quantité qui dépend de $g$ ?

Question. - est ce que c'est juste ? Si oui, pourquoi ? (je n'aime pas faire d'analogie ... je préfère comprendre pourquoi il faut écrire cela).
Question. - je ne comprends pas ce que signifie le terme : "à décroissance rapide", je comprends que cela décroît, mais mathématiquement, comment cela se traduit (exponentielle décroissante ?) ?

Merci à tous,
analysemaths.
Re: Adjoint et produit scalaire hermitien
il y a neuf jours
Oui le raisonnement est correct. Tu ne raisonnes pas par analogie, tu appliques la définition. Et "à décroissance rapide" est certainement précisé dans le cours ou l'ouvrage sur lequel tu travailles... En général ça veut dire que ta fonction est $O(|x|^k)$ pour tout $k \leq 0$ aux voisinages de $\pm \infty$.
Re: Adjoint et produit scalaire hermitien
il y a neuf jours
Rebonjour,

Voici ce que j'ai fait.

$(L[f]|g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{\left(f''(x)+a_1(x)f'(x)+a_0(x)f(x)\right)}g(x)\mathrm{d}x = $
$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \overline{f''(x)}g(x)\mathrm{d}x + \int_{-\infty}^{+\infty} \overline{a_1 (x)f'(x)}g(x)\mathrm{d}x+\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{a_0(x)f(x)}g(x)\mathrm{d}x$.

Ensuite, j'ai effectué des intégrations par parties :
$\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{f''(x)}g(x)\mathrm{d}x=[\overline{f'(x)}g(x)]_{-\infty}^{+\infty} -[\overline{f(x)}g(x)]_{-\infty}^{+\infty}+\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{f(x)}g''(x)\mathrm{d}x$.

Puis, $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \overline{a_1(x)}g(x)\overline{f'(x)}\mathrm{d}x=[\overline{f(x)a_1(x)}g(x)]_{-\infty}^{+\infty}-\int_{-\infty}^{+\infty}\left(\overline{a_1'(x)}g(x)+\overline{a_1(x)}g'(x)\right)\overline{f(x)}\mathrm{d}x$.

Au final, j'ai cette expression : $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} \left(g''(x)-(ga_1)'(x)+\overline{a_0(x)}g(x)\right)\overline{f(x)}\mathrm{d}x$.

La définition de l'adjoint, c'est $(u(x)|y)=(x|u^\star(y))$, donc en appliquant la définition : $(L[f]|g)=(f|L^\star[g])$, ce qui fait que mon adjoint est $L^\star[g]$ ?

Merci à tous,
analysemaths.
Re: Adjoint et produit scalaire hermitien
il y a neuf jours
Tu n'as pas explicité ton adjoint, tu poses la question "donc l'adjoint est l'adjoint ?" ici. Et il faudrait justifier un petit peu plus ce genre d'IPP sur des intervalles de longueur infinie.
Re: Adjoint et produit scalaire hermitien
il y a neuf jours
Bonjour,

@Poirot :
Oui, en effet, j'ai mal posé ma question.
En fait, je ne comprends pas comment l'expliciter à partir de ce que j'ai fait, car je ne vois pas le lien avec la définition ...
Je sais qu'il y a quelque chose qui me gène dans cette notion d'adjoint, mais je ne sais pas quoi.

Pour justifier ces intégrations par parties, comment doit-on procéder ?
Je sais qu'on peut passer par les intégrales partielles puis passer à la limite, ou alors, introduire une primitive connue ...
On sait que $f$ et $g$ sont $\mathcal{C}^\infty$, mais je sais pas si ça aide.
Et puis, on a pas de formule explicite pour $f$ et $g$. Donc, je suis un peu perplexe.

Un indice ?

Merci à tous,
analysemaths.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf jours et a été effectuée par analysemaths.
Re: Adjoint et produit scalaire hermitien
il y a neuf jours
Rebonsoir,

Après réflexion : $L^\star[g]=g''(x)-g'(x)\overline{a_1(x)}-(\overline{a_1(x)}-\overline{a_0(x)})y(x)$.
Est-ce correct ?

Pour justifier les intégrations par parties, je n'ai toujours pas d'idée pour le moment.

Merci à tous,
analysemaths.
Re: Adjoint et produit scalaire hermitien
il y a neuf jours
Je n'ai pas vérifié tes calculs mais oui c'est ça. Une fois que tu as réussi à écrire $\langle L(f), g \rangle = \langle f, h \rangle$ avec $h$ dans ton espace de Hilbert alors par définition $h = L^*(f)$ ! Pour les IPP tu l'as dit, on intègre sur quelque chose de borné et on passe à la limite. Reste à voir pourquoi la limite existe !
Re: Adjoint et produit scalaire hermitien
il y a neuf jours
Rebonsoir,

Je vais plancher sur la justification de l'intégration par parties.
Merci beaucoup Poirot pour tes lumières !

analysemaths.
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