Matrice de covariance...
Bonjour
Est-ce que le produit d'une matrice de dilatation et d'une matrice de rotation permet d'engendrer toutes les matrices semi-définies positives ?
Si oui avez-vous une heuristique de preuve ?
Merci d'avance
Remarque : c'est ce qui semble être fait pour la matrice de variance-covariance d'un de mes vecteurs gaussiens ...
Est-ce que le produit d'une matrice de dilatation et d'une matrice de rotation permet d'engendrer toutes les matrices semi-définies positives ?
Si oui avez-vous une heuristique de preuve ?
Merci d'avance
Remarque : c'est ce qui semble être fait pour la matrice de variance-covariance d'un de mes vecteurs gaussiens ...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
En fait on génére un nuage de point selon une loi centrée réduite, puis on applique les transformations rotation et dilatation à ce nuage de points. Du coup la bonne question (celle que j'aurai dû me poser) est plutôt quelle est la matrice de covariance de ce nouveau nuage de points....
Disons que le nuage de point vit dans $\R^n$ ($n$ fixé, peut-être $n=2$ ou $n=3$ ?) et qu'il y a $p$ points. On représente le nuage par une matrice $A =(a_{ij})_{1\le i\le n,\ 1\le j\le p}$ (où chaque point est représenté par une colonne). La matrice de covariance est $\newcommand{\T}{{\sf T}}C=AA^\T$. Si on applique une rotation de matrice $P$, on remplace $A$ par $A'=PA$. Alors, la matrice de covariance devient $C'=PA(PA)^\T=PCP^\T=PCP^{-1}$. Par conséquent, les valeurs propres de $C'$ et $C$ coïncident (heureusement !) et les vecteurs propres de $C'$ sont les images de ceux de $C$ par $P$ (normal !).
Si on multiplie les vecteurs par une même constante $\lambda$, la matrice de covariance est multipliée par $\lambda^2$. Si on fait une dilatation avec des facteurs différents selon les dimensions (« affinité »), c'est plus compliqué.
Comme celà ça parait beaucoup plus simple