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un déterminant

Envoyé par Saturne 
un déterminant
il y a huit jours
Bonjour,

Soit $v$ un vecteur de longueur $d$, et soit $M$ la matrice carrée d'ordre $d+1$
$$
M = \begin{pmatrix}
\alpha + \sum_{i=1}^d v_i^2 & v' \\
v & I_d \end{pmatrix},$$
où $\alpha > 0$.
Pourquoi $\det(M) = \alpha$ ? Pour $d=1$ c'est trivial. Pour $d=2$, avec la formule pour le déterminant d'une matrice $3 \times 3$ dont j'ai oublié le nom, on obtient facilement $\det(M) = \alpha$. Pour $d \geq 3$ j'ai testé numériquement mais je ne vois pas pourquoi.
Re: un déterminant
il y a huit jours
Le déterminant est inchangé si on soustrait à la première colonne $v_1$ fois la deuxième plus $v_2$ fois la troisième ... plus $v_d$ fois la dernière.
Re: un déterminant
il y a huit jours
Ah oui je vois. Merci !
P.
Re: un déterminant
il y a huit jours
Ca sert tout le temps : si $C=\mathrm{diag}(c_1,\ldots.c_d)$ alors $$\det\left[\begin{array}{cc}a&v'\\v&C\end{array}\right]=c_1\ldots c_d\left(a-\sum_{i=1}^d\frac{v_i^2}{c_i}\right).$$
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