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Polynômes à valeurs entières.

Envoyé par dedekind93 
Polynômes à valeurs entières.
il y a dix jours
Bonjour à tous. Si $P\in\mathbb{R}[X]$ vérifie $\forall n\in\mathbb{N},\; P(n)\in\mathbb{Z}$, peut-on affirmer que $\forall n\in\mathbb{Z},\; P(n)\in\mathbb{Z}$ ?
Merci de vos idées.
Re: Polynômes à valeurs entières.
il y a dix jours
Oui. Suggestion : montrer que les $B_k(X)$ forment une $\R$-base de $\R[X]$ :
$$
B_0 = 1, \qquad B_1 = X, \qquad B_2 = {X(X-1) \over 2}, \qquad B_3 = {X(X-1)(X-2) \over 3!}, \qquad \cdots
$$
Mieux : les $(B_k)_{0 \le k \le N}$ forment une $\R$-base de $\R[X]_{{\rm deg} \le N}$.

Et ensuite ? Réfléchir.
Re: Polynômes à valeurs entières.
il y a dix jours
Merci Claude, je n'ai pas l'habitude de penser à ces bases. Je propose donc la solution suivante.
Soit $P\in\mathbb{R}[X]$ de degré $N\in\mathbb{N}^*$ tel que $\forall n\in\mathbb{N},\; P(n)\in\mathbb{Z}$ (le cas polynôme constant étant trivial). On écrit $P=\displaystyle\sum_{k=0}^N\lambda_k B_k$ avec $\lambda_0,\dots,\lambda_N\in\mathbb{R}$.

On démontre que $\forall j\in\{0,\dots,N\},\; \lambda_j\in\mathbb{Z}$. C'est vrai pour $j=0$ car $\lambda_0=P(0)\in\mathbb{Z}$. Si la propriété est vraie pour un entier $j\in\{0,\dots,N-1\}$, alors $P(j+1)=\displaystyle\sum_{k=0}^N\lambda_k B_k(j+1)=\displaystyle\sum_{k=0}^{j+1}\lambda_k B_k(j+1)\Rightarrow \lambda_{j+1}=P(j+1)-\sum_{k=0}^{j}\lambda_k B_k(j+1)$ car $B_{j+1}(j+1)=1$. On a donc $\forall j\in\{0,\dots,N\},\; \lambda_j\in\mathbb{Z}$ par récurrence forte.

Maintenant, pour tout $n\in\mathbb{Z}_-^*$ : $P(n)=\displaystyle\sum_{k=0}^N\lambda_k B_k(n)=
\sum_{k=0}^N\lambda_k(-1)^k\binom{-n+k-1}{k}\in\mathbb{Z}$.

Merci encore !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix jours et a été effectuée par dedekind93.
Re: Polynômes à valeurs entières.
il y a neuf jours
@dedekind3
Je n'ai aucun mérite car j'ai déjà étudié (un tout petit peu) le sous-anneau $B$ de $\Q[X]$ constitué des polynômes $F$ vérifiant $F(\Z) \subset \Z$. La lettre $B$ utilisée pour l'anneau ou les polynômes $B_k$ en l'honneur de Binomial. $B_k$ est le polynôme binomial de degré $k$.

En fait, tu as montré bien plus que prévu : tu as montré que si $F \in \R[X]$ est de degré $N$ et si $F(x) \in \Z$ pour $x$ entier, $0 \le x \le N$, alors $F$ est une combinaison $\fbox{$\Z$}$-linéaire des $B_k$ pour $0 \le k \le N$. Ce qui a fait ton bonheur.

Et en même temps, tu as prouvé (sans le vouloir au sens où ce n'était pas l'énoncé) que les $(B_k)_{k \ge 0}$ forment une $\Z$-base de $B$. C'est cela le résultat important.

Et cet anneau $B$, coincé entre $\Z[X]$ et $\Q[X]$, i.e. $\Z[X] \subset B \subset \Q[X]$, a été beaucoup étudié (pas par moi, j'ai bien précisé un petit peu). Car d'une part, il fournit des contre-exemples (il n'est pas noethérien, pas factoriel) et d'autre part, malgré ces handicaps, il possède des propriétés intéressantes (c'est un anneau de Prüfer de dimension de Krull égale à 2 ...etc..)

Je ne sais pas quel est ton niveau d'études. Mais peut-être que tu n'es pas étudiant. Juste pour te dire que je viens de retrouver un exercice corrigé (jamais donné dans le cadre de la scolarité), niveau Master, consacré à une étude élémentaire de l'anneau $B$. En commençant par la propriété que tu as prouvé. Anecdote : dans l'anneau $B$, chaque polynôme $B_k$ est irréductible (pas dans $\Q[X]$, of course). Cet exercice est disponible sans que tu aies le besoin de me fournir le code de ta carte bancaire.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six jours et a été effectuée par Poirot.
Re: Polynômes à valeurs entières.
il y a six jours
Merci Claude pour ces précisions. J'ai retrouvé un exercice dans lequel on montre, sans considération d'algèbre linéaire mais péniblement par récurrence, que $P(\mathbb{Z})\subset\mathbb{Z}$ si et seulement si $P$ combinaison linéaire à coefficients entiers des $B_k$. Honte à moi je n'avais pas fait le lien avec ma question !
Merci pour tes précisions sur l'anneau $B$ que je ne connaissais pas du tout. Oui, je suis très intéressé par ton exercice, merci. Je vais aller jeter un coup d'oeil à la notion d'anneau de Prüfer car au-delà de noethérien et factoriel mes connaissances s'arrêtent !
Re: Polynômes à valeurs entières.
il y a cinq jours
avatar
Bonjour,

j'ai mis au propre l'affaire en précisant quelques détails utiles pour ma petite tête.

Je joins le résultat.

Merci à tous les deux.


PS : Merci à Clairon pour sa lecture attentive et toutes mes excuses à Claude (texte rectifié)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois jours et a été effectuée par jean-éric.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - texteexoseul.pdf (33.2 KB)
Re: Polynômes à valeurs entières.
il y a quatre jours
@dedekind93 (et jean-éric)
J'attache le truc promis au risque de vous scandaliser sur ma manière de conduire une récurrence : ok pour $n=0$, je prends en charge $n=1$ puis $n=2$, et cela me suffit (je me contente de $\cdots$). C'est pas bien.

On voit bien que la chose attachée n'est pas terminée. Ainsi, dans le corrigé (sic), on voit l'explicitation de :
$$
B_6 \in \langle B_3, B_4, B_5\rangle_B \qquad (\star)
$$
Attention : c'est $\bullet \in \langle \quad \rangle_B$ et pas $\bullet \in \langle \quad \rangle_{\Q[X]}$. Tester l'appartenance à ce dernier idéal est chose ``facile'' via les bases de Gröbner mais tester $\bullet \in \langle \quad \rangle_B$ est une autre paire de manches.

J'ai complètement oublié pourquoi on s'intéressait à ce type d'appartenance $(\star)$. Peut-être c'était lié à la propriété de Skolem : pour $F_1, \cdots, F_n \in B$, la propriété de Skolem est :
$$
[1 \in \langle F_1(x), \cdots, F_n(x)\rangle_\Z \quad \forall x \in \Z] \quad\Rightarrow\quad 1 \in \langle F_1, \cdots, F_n\rangle_B
$$
Faut croire que cela nous amusait à l'époque.

Abordable : le fait que $B$ ne soit pas noethérien, qu'il soit intégralement clos et non factoriel. De Prüfer, c'est déjà plus élaboré.

Je crois comprendre que ce type d'anneau a été généralisé : pour tout anneau intègre $A$ de corps des fractions $K$, il y a des gens qui s'amusent avec le sous-anneau de $K[X]$ constitué des polynômes $F$ tels que $F(A) \subset A$. Rings of integer-valued polynomials comme disent les anglo-saxons, cf [www.ams.org].

Voilà, voilà.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - exoRingPolIntegralValues.pdf (61.5 KB)
Re: Polynômes à valeurs entières.
hier, 01:26
Merci Claude pour ce bel exo, j'adorais il y a quelques temps ces contre exemples d'anneaux non factoriels, non noetheriens, non à pgcd, etc... ça va me remettre en selle!
Je m'étais imaginé que les irréductibles de B ne sont pas explicitables (question bête: au fait, quels sont ils dans $Z[X]$?) mais peut être le sont ils!
Re: Polynômes à valeurs entières.
il y a dix sept heures
Dans son petit « Que Sais-Je ?» sur « Les nombres premiers » (1953), Émile Borel parlait des « diviseurs cachés des polynômes ». Par exemple, le polynôme $14x^3-35x +21$ aura évidemment toutes ses valeurs divisibles par $7$ si l'on donne à $x$ des valeurs entières, mais il en est de même de $x^7-x$, ce qui est moins évident.

La caractérisation des polynômes $P\in\mathbb{R}[X]$ telq que : $ \forall n\in\mathbb{Z},\; P(n)\in\mathbb{Z}$ se trouve déjà dans : E. Ramis, Exercices d'Algèbre avec solutions développées, Masson et Cie (violet), 1970, p. 147, ouvrage qui contient pas mal de choses même pour aujourd'hui.

C'est un bon exercice de math. sup. sur les polynômes, mais je n'avais jamais pensé à scruter l'anneau de ces polynômes, voici qui est fait aujourd'hui, il faut en remercier Claude Quitté. Tout le monde en apprend beaucoup sur ce forum.

Bonne journée.
Fr. Ch.
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