Polynômes à valeurs entières.

Oui. Suggestion : montrer que les $B_k(X)$ forment une $\R$-base de $\R[X]$ :
$$
B_0 = 1, \qquad B_1 = X, \qquad B_2 = {X(X-1) \over 2}, \qquad B_3 = {X(X-1)(X-2) \over 3!}, \qquad \cdots
$$
Mieux : les $(B_k)_{0 \le k \le N}$ forment une $\R$-base de $\R[X]_{{\rm deg} \le N}$.

Et ensuite ? Réfléchir.

@dedekind3
Je n'ai aucun mérite car j'ai déjà étudié (un tout petit peu) le sous-anneau $B$ de $\Q[X]$ constitué des polynômes $F$ vérifiant $F(\Z) \subset \Z$. La lettre $B$ utilisée pour l'anneau ou les polynômes $B_k$ en l'honneur de Binomial. $B_k$ est le polynôme binomial de degré $k$.

En fait, tu as montré bien plus que prévu : tu as montré que si $F \in \R[X]$ est de degré $N$ et si $F(x) \in \Z$ pour $x$ entier, $0 \le x \le N$, alors $F$ est une combinaison $\fbox{$\Z$}$-linéaire des $B_k$ pour $0 \le k \le N$. Ce qui a fait ton bonheur.

Et en même temps, tu as prouvé (sans le vouloir au sens où ce n'était pas l'énoncé) que les $(B_k)_{k \ge 0}$ forment une $\Z$-base de $B$. C'est cela le résultat important.

Et cet anneau $B$, coincé entre $\Z[X]$ et $\Q[X]$, i.e. $\Z[X] \subset B \subset \Q[X]$, a été beaucoup étudié (pas par moi, j'ai bien précisé un petit peu). Car d'une part, il fournit des contre-exemples (il n'est pas noethérien, pas factoriel) et d'autre part, malgré ces handicaps, il possède des propriétés intéressantes (c'est un anneau de Prüfer de dimension de Krull égale à 2 ...etc..)

Je ne sais pas quel est ton niveau d'études. Mais peut-être que tu n'es pas étudiant. Juste pour te dire que je viens de retrouver un exercice corrigé (jamais donné dans le cadre de la scolarité), niveau Master, consacré à une étude élémentaire de l'anneau $B$. En commençant par la propriété que tu as prouvé. Anecdote : dans l'anneau $B$, chaque polynôme $B_k$ est irréductible (pas dans $\Q[X]$, of course). Cet exercice est disponible sans que tu aies le besoin de me fournir le code de ta carte bancaire.

Bonjour,

j'ai mis au propre l'affaire en précisant quelques détails utiles pour ma petite tête.

Je joins le résultat.

Merci à tous les deux.


PS : Merci à Clairon pour sa lecture attentive et toutes mes excuses à Claude (texte rectifié)

Bonjour,

en cherchant un peu on voit vite les noms de Jean-Luc Chabert et de Paul-Jean Cahen deux spécialités de ce type de problèmes.

Si quelqu'un à l'article what you should know about integral valued polynomials (maths monthly, auteur Chabert) je suis preneur.

Je ferai une synthèse de ce que propose Claude concernant le fameux anneau F (car ses évidences sont loin d'être les miennes). L'exo est sympa de toute façon comme d'habitude avec Claude.

J'ai aussi une autre idée, mais là c'est nettement plus lourd et long : s'attaquer à recensement des propriétés des anneaux $\mathbb{Z}[\sqrt{d}] $ où $d\in \mathbb{N}^\star $ $d\geq 2$ de manière élémentaire bien sûr. Là c'est juste une idée en écho à certains fils sympas où Chaurien intervient souvent.

Cela permettrait de regrouper des réponses du forum car ce thème est souvent évoqué. Je dis c'est une idée... J'avais quand même récupéré ceci sur différents fil...

Des résultats liés à Pell-Fermat, aussi aux fractions continues (Hardy & Wright) et bien d'autres méritent le détour.


Jean-éric.

PS : je sais je sors un peu du fil initial...

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