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Polynômes à valeurs entières.

Envoyé par dedekind93 
Polynômes à valeurs entières.
il y a sept jours
Bonjour à tous. Si $P\in\mathbb{R}[X]$ vérifie $\forall n\in\mathbb{N},\; P(n)\in\mathbb{Z}$, peut-on affirmer que $\forall n\in\mathbb{Z},\; P(n)\in\mathbb{Z}$ ?
Merci de vos idées.
Re: Polynômes à valeurs entières.
il y a sept jours
Oui. Suggestion : montrer que les $B_k(X)$ forment une $\R$-base de $\R[X]$ :
$$
B_0 = 1, \qquad B_1 = X, \qquad B_2 = {X(X-1) \over 2}, \qquad B_3 = {X(X-1)(X-2) \over 3!}, \qquad \cdots
$$
Mieux : les $(B_k)_{0 \le k \le N}$ forment une $\R$-base de $\R[X]_{{\rm deg} \le N}$.

Et ensuite ? Réfléchir.
Re: Polynômes à valeurs entières.
il y a sept jours
Merci Claude, je n'ai pas l'habitude de penser à ces bases. Je propose donc la solution suivante.
Soit $P\in\mathbb{R}[X]$ de degré $N\in\mathbb{N}^*$ tel que $\forall n\in\mathbb{N},\; P(n)\in\mathbb{Z}$ (le cas polynôme constant étant trivial). On écrit $P=\displaystyle\sum_{k=0}^N\lambda_k B_k$ avec $\lambda_0,\dots,\lambda_N\in\mathbb{R}$.

On démontre que $\forall j\in\{0,\dots,N\},\; \lambda_j\in\mathbb{Z}$. C'est vrai pour $j=0$ car $\lambda_0=P(0)\in\mathbb{Z}$. Si la propriété est vraie pour un entier $j\in\{0,\dots,N-1\}$, alors $P(j+1)=\displaystyle\sum_{k=0}^N\lambda_k B_k(j+1)=\displaystyle\sum_{k=0}^{j+1}\lambda_k B_k(j+1)\Rightarrow \lambda_{j+1}=P(j+1)-\sum_{k=0}^{j}\lambda_k B_k(j+1)$ car $B_{j+1}(j+1)=1$. On a donc $\forall j\in\{0,\dots,N\},\; \lambda_j\in\mathbb{Z}$ par récurrence forte.

Maintenant, pour tout $n\in\mathbb{Z}_-^*$ : $P(n)=\displaystyle\sum_{k=0}^N\lambda_k B_k(n)=
\sum_{k=0}^N\lambda_k(-1)^k\binom{-n+k-1}{k}\in\mathbb{Z}$.

Merci encore !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept jours et a été effectuée par dedekind93.
Re: Polynômes à valeurs entières.
il y a six jours
@dedekind3
Je n'ai aucun mérite car j'ai déjà étudié (un tout petit peu) le sous-anneau $B$ de $\Q[X]$ constitué des polynômes $F$ vérifiant $F(\Z) \subset \Z$. La lettre $B$ utilisée pour l'anneau ou les polynômes $B_k$ en l'honneur de Binomial. $B_k$ est le polynôme binomial de degré $k$.

En fait, tu as montré bien plus que prévu : tu as montré que si $F \in \R[X]$ est de degré $N$ et si $F(x) \in \Z$ pour $x$ entier, $0 \le x \le N$, alors $F$ est une combinaison $\fbox{$\Z$}$-linéaire des $B_k$ pour $0 \le k \le N$. Ce qui a fait ton bonheur.

Et en même temps, tu as prouvé (sans le vouloir au sens où ce n'était pas l'énoncé) que les $(B_k)_{k \ge 0}$ forment une $\Z$-base de $B$. C'est cela le résultat important.

Et cet anneau $B$, coincé entre $\Z[X]$ et $\Q[X]$, i.e. $\Z[X] \subset B \subset \Q[X]$, a été beaucoup étudié (pas par moi, j'ai bien précisé un petit peu). Car d'une part, il fournit des contre-exemples (il n'est pas noethérien, pas factoriel) et d'autre part, malgré ces handicaps, il possède des propriétés intéressantes (c'est un anneau de Prüfer de dimension de Krull égale à 2 ...etc..)

Je ne sais pas quel est ton niveau d'études. Mais peut-être que tu n'es pas étudiant. Juste pour te dire que je viens de retrouver un exercice corrigé (jamais donné dans le cadre de la scolarité), niveau Master, consacré à une étude élémentaire de l'anneau $B$. En commençant par la propriété que tu as prouvé. Anecdote : dans l'anneau $B$, chaque polynôme $B_k$ est irréductible (pas dans $\Q[X]$, of course). Cet exercice est disponible sans que tu aies le besoin de me fournir le code de ta carte bancaire.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois jours et a été effectuée par Poirot.
Re: Polynômes à valeurs entières.
il y a trois jours
Merci Claude pour ces précisions. J'ai retrouvé un exercice dans lequel on montre, sans considération d'algèbre linéaire mais péniblement par récurrence, que $P(\mathbb{Z})\subset\mathbb{Z}$ si et seulement si $P$ combinaison linéaire à coefficients entiers des $B_k$. Honte à moi je n'avais pas fait le lien avec ma question !
Merci pour tes précisions sur l'anneau $B$ que je ne connaissais pas du tout. Oui, je suis très intéressé par ton exercice, merci. Je vais aller jeter un coup d'oeil à la notion d'anneau de Prüfer car au-delà de noethérien et factoriel mes connaissances s'arrêtent !
Re: Polynômes à valeurs entières.
il y a deux jours
avatar
Bonjour,

j'ai mis au propre l'affaire en précisant quelques détails utiles pour ma petite tête.

Je joins le résultat.

Merci à tous les deux.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - texteexoseul.pdf (31.3 KB)
Re: Polynômes à valeurs entières.
il y a 23 heures
@dedekind93 (et jean-éric)
J'attache le truc promis au risque de vous scandaliser sur ma manière de conduire une récurrence : ok pour $n=0$, je prends en charge $n=1$ puis $n=2$, et cela me suffit (je me contente de $\cdots$). C'est pas bien.

On voit bien que la chose attachée n'est pas terminée. Ainsi, dans le corrigé (sic), on voit l'explicitation de :
$$
B_6 \in \langle B_3, B_4, B_5\rangle_B \qquad (\star)
$$
Attention : c'est $\bullet \in \langle \quad \rangle_B$ et pas $\bullet \in \langle \quad \rangle_{\Q[X]}$. Tester l'appartenance à ce dernier idéal est chose ``facile'' via les bases de Gröbner mais tester $\bullet \in \langle \quad \rangle_B$ est une autre paire de manches.

J'ai complètement oublié pourquoi on s'intéressait à ce type d'appartenance $(\star)$. Peut-être c'était lié à la propriété de Skolem : pour $F_1, \cdots, F_n \in B$, la propriété de Skolem est :
$$
[1 \in \langle F_1(x), \cdots, F_n(x)\rangle_\Z \quad \forall x \in \Z] \quad\Rightarrow\quad 1 \in \langle F_1, \cdots, F_n\rangle_B
$$
Faut croire que cela nous amusait à l'époque.

Abordable : le fait que $B$ ne soit pas noethérien, qu'il soit intégralement clos et non factoriel. De Prüfer, c'est déjà plus élaboré.

Je crois comprendre que ce type d'anneau a été généralisé : pour tout anneau intègre $A$ de corps des fractions $K$, il y a des gens qui s'amusent avec le sous-anneau de $K[X]$ constitué des polynômes $F$ tels que $F(A) \subset A$. Rings of integer-valued polynomials comme disent les anglo-saxons, cf [www.ams.org].

Voilà, voilà.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - exoRingPolIntegralValues.pdf (61.5 KB)
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