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Valeurs propres et spectrales

Envoyé par Mister Da 
Valeurs propres et spectrales
il y a dix jours
Bonjour,

j'étais en train de me rafraichir les idées sur les valeurs propres et spectrales. En papillonnant sur le phôrüm je suis tombé sur cet exemple de remarque : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,592137,592137 Sur $C^0([0,1])$, l'opérateur $Tu(x)=xu(x)$. Le spectre est égal à $[0,1]$, mais aucun de ses éléments n'est une valeur propre.

J'ai essayé de traiter cet exemple et je voudrais m'assurer de ce que je dis. Je considère l'opérateur $T_\lambda = \lambda\operatorname{Id}-T$ qui, à une fonction $u\in C^0([0,1])$, associe la fonction $T_\lambda u\colon x\mapsto (\lambda -x)u(x)$.

Pour tout $\lambda$, l'opérateur $T_\lambda u$ est injectif car son noyau est réduit à la fonction identiquement nulle. Ainsi, il n'a pas de valeur propre.

En suite, pour qu'une fonction continue $v$ admette un antécédent, il faut que $u(x) = \frac{v(x)}{\lambda -x}$ pour tout $x\in[0,1]$ soit continue. C'est le cas si $\lambda\not\in [0,1]$ car il s'agit du produit de deux fonctions continues. $T_\lambda$ y est donc surjectif. En revanche, quand $\lambda\in [0,1]$, il n'existe pas d'antécédent et donc $T_\lambda$ n'est pas surjectif.


Conclusion, $T_\lambda$ est toujours injectif, il n'est inversible (car pas surjectif donc pas bijectif) pour $\lambda\in [0,1]$.

Est-ce que c'est correct ?
Je vous remercie par avance pour vos précieuses lumières.
Cordialement,
Mister Da
Re: Valeurs propres et spectrales
il y a dix jours
Pour $\lambda \in [0, 1]$ à la fin, il n'existe pas d'antécédent de quoi ? Hormis cette imprécision, c'est juste.
Re: Valeurs propres et spectrales
il y a dix jours
Bonjour Poirot,
merci pour ton aide. Je me suis mal exprimé effectivement. Je voulais dire : il existe des fonctions qui n'ont pas d'antécédent.
Ca devrait être mieux non ?
Cordialement,
Mister Da
Re: Valeurs propres et spectrales
il y a dix jours
Oui c'est mieux, il reste à le justifier convenablement ! winking smiley
Re: Valeurs propres et spectrales
il y a dix jours
Humm, pour le justifier convenablement, je pense qu'il me suffit de trouver un exemple. Si je pioche $v$ telle que $v(x) = k\neq 0$ pour tout $x\in[0,1]$, alors $v$ est bien continue et en revanche la fonction $x\mapsto\frac{v(x)}{\lambda-x}=\frac{k}{\lambda-x}$ n'est pas continue (et pas définie d'ailleurs) en $x=\lambda$. Du coup les fonctions constantes non nulles n'ont pas d'antécédent quand $\lambda\in[0,1]$.

Est-ce que ça va comme justification ?

Cordialement,
Mister Da
Re: Valeurs propres et spectrales
il y a dix jours
Ce n'est pas très joli, en général mieux vaut éviter de diviser à tout va. Il vaudrait mieux dire plus simplement que si $\lambda \in [0, 1]$ et si $v$ est dans l'image de $\lambda id - T$ alors $v : x \mapsto (\lambda -x)u(x)$ pour un certain $u \in \mathcal C^0([0, 1])$ et en particulier $v(\lambda)=0$, ce qui prouve que l'image de ton opérateur ne peut pas être $\mathcal C^0([0, 1])$ tout entier puisqu'il existe de telles fonctions ne s'annulant pas en $\lambda$.
Re: Valeurs propres et spectrales
il y a dix jours
Merci beaucoup, effectivement tu fais beau et simple quand je fais moche et compliqué. Je pense que maintenant tout est clair dans mon esprit. Je vais essayer de me faire les dents sur d'autres exemples. Encore un grand merci pour ton aide et au plaisir de te revoir au hasard d'une autre discussion.

Cordialement,
Mister Da
Re: Valeurs propres et spectrales
il y a dix jours
Avec plaisir smiling smiley
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