Bonjour,
j'étais en train de me rafraichir les idées sur les valeurs propres et spectrales. En papillonnant sur le phôrüm je suis tombé sur cet exemple de remarque :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,592137,592137 Sur $C^0([0,1])$, l'opérateur $Tu(x)=xu(x)$. Le spectre est égal à $[0,1]$, mais aucun de ses éléments n'est une valeur propre.
J'ai essayé de traiter cet exemple et je voudrais m'assurer de ce que je dis. Je considère l'opérateur $T_\lambda = \lambda\operatorname{Id}-T$ qui, à une fonction $u\in C^0([0,1])$, associe la fonction $T_\lambda u\colon x\mapsto (\lambda -x)u(x)$.
Pour tout $\lambda$, l'opérateur $T_\lambda u$ est injectif car son noyau est réduit à la fonction identiquement nulle. Ainsi, il n'a pas de valeur propre.
En suite, pour qu'une fonction continue $v$ admette un antécédent, il faut que $u(x) = \frac{v(x)}{\lambda -x}$ pour tout $x\in[0,1]$ soit continue. C'est le cas si $\lambda\not\in [0,1]$ car il s'agit du produit de deux fonctions continues. $T_\lambda$ y est donc surjectif. En revanche, quand $\lambda\in [0,1]$, il n'existe pas d'antécédent et donc $T_\lambda$ n'est pas surjectif.
Conclusion, $T_\lambda$ est toujours injectif, il n'est inversible (car pas surjectif donc pas bijectif) pour $\lambda\in [0,1]$.
Est-ce que c'est correct ?
Je vous remercie par avance pour vos précieuses lumières.
Cordialement,
Mister Da
