Valeurs propres et spectrales

Mister Da · December 2017

Bonjour,

j'étais en train de me rafraichir les idées sur les valeurs propres et spectrales. En papillonnant sur le phôrüm je suis tombé sur cet exemple de remarque : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,592137,592137 Sur $C^0([0,1])$, l'opérateur $Tu(x)=xu(x)$. Le spectre est égal à $[0,1]$, mais aucun de ses éléments n'est une valeur propre.

J'ai essayé de traiter cet exemple et je voudrais m'assurer de ce que je dis. Je considère l'opérateur $T_\lambda = \lambda\operatorname{Id}-T$ qui, à une fonction $u\in C^0([0,1])$, associe la fonction $T_\lambda u\colon x\mapsto (\lambda -x)u(x)$.

Pour tout $\lambda$, l'opérateur $T_\lambda u$ est injectif car son noyau est réduit à la fonction identiquement nulle. Ainsi, il n'a pas de valeur propre.

En suite, pour qu'une fonction continue $v$ admette un antécédent, il faut que $u(x) = \frac{v(x)}{\lambda -x}$ pour tout $x\in[0,1]$ soit continue. C'est le cas si $\lambda\not\in [0,1]$ car il s'agit du produit de deux fonctions continues. $T_\lambda$ y est donc surjectif. En revanche, quand $\lambda\in [0,1]$, il n'existe pas d'antécédent et donc $T_\lambda$ n'est pas surjectif.

Conclusion, $T_\lambda$ est toujours injectif, il n'est inversible (car pas surjectif donc pas bijectif) pour $\lambda\in [0,1]$.

Est-ce que c'est correct ?
Je vous remercie par avance pour vos précieuses lumières.
Cordialement,
Mister Da

Poirot · December 2017

Pour $\lambda \in [0, 1]$ à la fin, il n'existe pas d'antécédent de quoi ? Hormis cette imprécision, c'est juste.

Mister Da · December 2017

Bonjour Poirot,
merci pour ton aide. Je me suis mal exprimé effectivement. Je voulais dire : il existe des fonctions qui n'ont pas d'antécédent.
Ca devrait être mieux non ?
Cordialement,
Mister Da

Poirot · December 2017

Oui c'est mieux, il reste à le justifier convenablement ! ;-)

Mister Da · December 2017

Humm, pour le justifier convenablement, je pense qu'il me suffit de trouver un exemple. Si je pioche $v$ telle que $v(x) = k\neq 0$ pour tout $x\in[0,1]$, alors $v$ est bien continue et en revanche la fonction $x\mapsto\frac{v(x)}{\lambda-x}=\frac{k}{\lambda-x}$ n'est pas continue (et pas définie d'ailleurs) en $x=\lambda$. Du coup les fonctions constantes non nulles n'ont pas d'antécédent quand $\lambda\in[0,1]$.

Est-ce que ça va comme justification ?

Cordialement,
Mister Da

Poirot · December 2017

Ce n'est pas très joli, en général mieux vaut éviter de diviser à tout va. Il vaudrait mieux dire plus simplement que si $\lambda \in [0, 1]$ et si $v$ est dans l'image de $\lambda id - T$ alors $v : x \mapsto (\lambda -x)u(x)$ pour un certain $u \in \mathcal C^0([0, 1])$ et en particulier $v(\lambda)=0$, ce qui prouve que l'image de ton opérateur ne peut pas être $\mathcal C^0([0, 1])$ tout entier puisqu'il existe de telles fonctions ne s'annulant pas en $\lambda$.

Mister Da · December 2017

Merci beaucoup, effectivement tu fais beau et simple quand je fais moche et compliqué. Je pense que maintenant tout est clair dans mon esprit. Je vais essayer de me faire les dents sur d'autres exemples. Encore un grand merci pour ton aide et au plaisir de te revoir au hasard d'une autre discussion.

Cordialement,
Mister Da

Poirot · December 2017

Avec plaisir :-)

Mister Da · November 2020

Bonjour,

je recroise la route de l'opérateur "multiplication" $f\mapsto(\;t\mapsto tf(t)\;)$ sauf que cette fois-ci il est pris sur l'espace $L^2([0,1])$ et non plus $C^0([0,1])$.

Plutôt que de refaire le travail, est-il possible d'invoquer un argument de densité de $C^0([0,1])$ dans $L^2([0,1])$ pour conclure que le spectre et $[0,1]$ et qu'il ne contient aucune valeur propre ?

Je vous remercie par avance pour vos conseils.
Cordialement,
Mister Da

gerard0 · November 2020

Bonjour.

"invoquer un argument de densité" : "abracadabra densité" ?? En fait, ce que tu te demandes, c'est "est-ce que la densité pourrait permettre de faire une démonstration ?".
Je ne connais pas le sujet, mais en gros, tu veux passer à la limite. As-tu des théorèmes sur le spectre de la limite ?

Cordialement.

Mister Da · November 2020

Bonjour gerard0,

merci pour ta réponse mais j'avoue ne pas en comprendre le sens. La question que tu me poses est la question que je pose.

M'étant mal exprimé je reformule : on considère un opérateur $T$ défini sur $C^0([0,1])$ par $f\mapsto(\;t\mapsto tf(t)\;)$ pour lequel on a déterminé son spectre et la structure de ce dernier. Maintenant on modifie en le définissant toujours par $f\mapsto(\;t\mapsto tf(t)\;)$ mais sur $L^2([0,1])$. Sachant que $C^0([0,1])$ est dense dans $L^2([0,1])$ existe-t-il un argument utilisant cette densité (sous entendu autre que "abracadabra densité" étant donné que nous sommes sur les-mathematiques.net et non la-magie.fr, bref un résultat, une proposition, un lemme, un théorème, une simple remarque pleine de bon sens) qui permette de conclure ?

Que puis-je dire de plus ? Cet opérateur étant borné, il devrait bien se marier par passage à la limite. Il est autoadjoint et si on joint le fait qu'il n'a pas de valeur propre ceci implique qu'il n'est pas compact. Il ne peut donc pas être vu comme la limite d'un opérateur de rang fini vu que nous sommes sur un espace Hilbertien.

Je suis fâché avec l'analyse fonctionnelle, c'est pourquoi j'essaye de m'entraîner. Quand je pense établir un résultat et que j'en vois aucune trace nulle part je me dis qu'il n'y a que deux options : soit c'est évident soit c'est faux.

Cordialement,
Mister Da

gerard0 · November 2020

Je ne me suis pas contenté de redire ce que tu disais !

Je te disais où chercher : Tu veux conserver une information sur le spectre, il te faut une propriété sur " le spectre de la limite" puisque les arguments de densité sont des passages à la limite.
Donc soit tu as ce genre de propriété, soit tu cherches une formulation précise de ce dont tu as besoin, soit il faut chercher ailleurs. Mais en tout cas, affiner ta question.

Cordialement.

Valeurs propres et spectrales

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