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Nombre de 3-sous-groupes de Sylow

Envoyé par marwanus 
Nombre de 3-sous-groupes de Sylow
il y a huit jours
Bonsoir,

Etant donné $G$ un groupe simple d'ordre 132.
Je cherche $n_3$ le nombre de 3-sous-groupes de Sylow de G.

En appliquant le théorème de Sylow avec $132=2^2\times 3 \times 11$ on trouve que :
$n_3 \equiv 1 \mod 3$ et $n_3\ |\ 2^2 \times 11$
Donc $n_3 \in \{1, 4, 22 \} $

Je sais que $n_3 \neq 1 $ (je ne sais pas encore le démontrer mais je creuse la question).
Par contre je ne sais pas du tout choisir entre 4 et 22. j'ai tendance à penser que c'est 22 car l'ordre du 3-Sylow est relativement petit.

Merci beaucoup pour votre aide!
Re: Nombre de 3-sous-groupes de Sylow
il y a huit jours
Est-ce que ça peut être $1$, sachant que $G$ est simple ?

De même, on sait qu'il y a $12$ $11$-Sylow : s'il y avait $22$ $3$-Sylows, on aurait au moins $10\times 12 + 2 \times 22 + 1 = 145$ éléments...

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Nombre de 3-sous-groupes de Sylow
il y a huit jours
Le fait que $n_3 \neq 1$ a à voir avec la simplicité du groupe winking smiley
Pour choisir entre $4$ et $22$, tu peux regarder le nombre d'éléments d'ordre $3$ qu'il y a dans ton groupe dans chacune des deux cas. En considérant le nombre de $11$ Sylow on peut voir que l'un des deux cas est impossible.
Re: Nombre de 3-sous-groupes de Sylow
il y a huit jours
Doublement pris de vitesse ! Comme dit Poirot, un des deux cas est impossible. Et ce n'est pas important de ne pas savoir lequel, parce que l'autre aussi...
Re: Nombre de 3-sous-groupes de Sylow
il y a huit jours
@Poirot : je crois que je t'ai légèrement devancé winking smiley voyant ton message,j'en ai peut-être dit trop confused smiley

"Mathematics, rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty"-Russell
Re: Nombre de 3-sous-groupes de Sylow
il y a huit jours
Je crois que t'en as dit trop @Maxtimax :P

Je vais essayer de reprendre tout cela en détail.
Soit $n_p$ le nombre de p-Sylow

$n_{11} = 12 $ d'après le théorème de Sylow...et $11$ est premier donc les 11-Sylow sont cycliques.
De même, les 3-Sylow sont cycliques.
On déduit que les 3-Sylow et les 11-Sylow sont disjoints donc :
$|G| = 12*10 + 22*2 +1 + ...> 132$ : absurde...

Par rapport au premier point : $n_p \neq 1$ , je me place dans le cas général:

Si $ G$ est simple (quelque soit son ordre), ses sous-groupes distingués sont triviaux.
Soit $H$ un $p$-Sylow de $G$ avec $p$ un nombre premier.
Je sais que $n_p = 1 \Leftrightarrow H$ est distingué
Dans ce cas $H=\{e\}$ ou $H=G$
$H=\{e\}$ est à exclure car $|H|$ est une puissance de p.
Il reste le cas $H=G$
Dans ce cas là je ne vois pas ce qui empêcherait $H$ d'être un $p$-Sylow de $G$ avec $n_p =1$ ?
Je sais qu'il y a une faille mais je ne la vois pas.

Merci à vous!



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a huit jours et a été effectuée par marwanus.
Re: Nombre de 3-sous-groupes de Sylow
il y a huit jours
Si ton groupe n'est pas un $p$-groupe il risque difficilement d'être l'un de ses $p$-Sylow !
Re: Nombre de 3-sous-groupes de Sylow
il y a huit jours
Merci @Poirot c'est plus clair.

Merci à tous!
Re: Nombre de 3-sous-groupes de Sylow
il y a six jours
Bonsoir la communauté,

Dans la continuité de ce fil, j'essaie de montrer qu'il n'existe pas de groupe simple d'ordre 132:

On a déjà montré que le nombre de 11-sylow est $n_{11}=12$ et que le nombre de 3-sylow est de $n_3=4$.
En cherchant le nombre de 2-Sylow, on trouve que $n_2 \in \{3, 11, 33\}$
les 2-sylow sont d'ordre 4, je pense qu'il ne peuvent pas faire partie des 11-Sylow ou des 3-Sylow cycliques (je me trompe ?), donc en utilisant:
$|G| \geq 12 \times 10 + 4 \times 2 + 3 \times 3 > 132$, ce qui est absurde.
Je me demande s'il y a un autre moyen de prouver cela?

Merci pour votre aide.
AD
Re: Nombre de 3-sous-groupes de Sylow
il y a six jours
avatar
Bonsoir Marwanus
Un $p$-Sylow contient que des éléments d'ordre une puissance de $p$, donc des $p$-Sylow et des $q$-Sylow pour $p\neq q$ ne peuvent partager que le neutre (d'ordre $p^0=q^0=1$).
En revanche, en ce qui concerne tes $2$-Sylow d'ordre $4$, tu ne peux pas dire que deux $2$-Sylow différents ne partagent pas un sous-groupe d'ordre $2$, ainsi ton "$3\times 3$" n'est pas garanti.
Ceci étant, tu n'as pas à considérer cela, car dans ton groupe d'ordre $132$, si tu retires les $120$ éléments d'ordre $11$ contenus dans les $11$-Sylow et les $8$ éléments d'ordre $3$ contenus dans les $3$-Sylow, il reste $4$ éléments qui constituent donc un unique $2$-Sylow qui est donc distingué.
Alain
Re: Nombre de 3-sous-groupes de Sylow
il y a six jours
Bien sûr, si $p$ et $q$ sont des nombres premiers distincts, un $p$-Sylow et un $q$-Sylow s'intersectent trivialement puisque l'ordre d'un élément de l'intersection est une puissance de $p$ et une puissance de $q$.

Ici, les $11$-Sylow sont cycliques donc deux d'entre eux s'intersectent trivialement ; idem pour les $3$-Sylow. En revanche, deux $2$-Sylow pourraient avoir une intersection d'ordre $2$. Le calcul des éléments d'ordre $2$ ou $4$ doit donc être revu à la baisse ou justifié.

Ça ne change pas grand-chose. Il y a au plus $132-128=4$ éléments d'ordre $1$, $2$ ou $4$ dont au moins $4$ dans un $2$-Sylow et au moins $1$ dans un autre $2$-Sylow. C'est déjà trop.

Pourquoi est-ce que cette méthode ne te plaît pas ?
AD
Re: Nombre de 3-sous-groupes de Sylow
il y a six jours
avatar
Re-bonsoir
Sinon, une autre technique (classique) pour minorer le nombre de $p$-Sylow d'un groupe simple.
S'il a, comme dans ton exemple, quatre $3$-Sylow, alors le groupe $G$ agit par conjugaison transitivement sur les quatre $3$-Sylow. Cela définit un morphisme non trivial $\varphi:G\to \mathfrak S_4$, dont le noyau est distingué dans $G$. Ce ne peut être $G$ car l'action est transitive, donc $\ker\varphi=\{1\}$ et $\varphi$ est injective, ce qui est absurde car $132=|G| > |\mathfrak S_4|=24$.
De cette manière on comprend que le nombre $n_p$ des $p$-Sylow d'un groupe simple est toujours tel que $(n_p)!\geq |G|$.
Alain



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq jours et a été effectuée par AD.
Re: Nombre de 3-sous-groupes de Sylow
il y a six jours
Merci beaucoup @Alain et @Math Coss pour ces explications détaillées.
C'est tout clair pour moi.
En fait cette méthode ne me déplaît pas, mais je me demandais s'il y avait des méthodes plus avancées ou des caractérisations qui m'éviteraient une approche déductive comme calculer d'abord $n_{11}$, $n_{3}$ puis $n_2$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six jours et a été effectuée par AD.
Re: Nombre de 3-sous-groupes de Sylow
il y a six jours
Rebonsoir Alain,

Merci pour cette technique intéressante.
Je ne comprends pas certains passages:
    1. alors le groupe G agit par conjugaison transitivement sur les quatre 3-Sylow (c'est parce que les 3-Sylow sont cycliques ? )
    2. Ce ne peut être G car l'action est transitive,

Je te remercie pour tes lumières !
AD
Re: Nombre de 3-sous-groupes de Sylow
il y a cinq jours
avatar
Bonsoir Marwanus
1) Tu as vu dans ton cours que les $p$-Sylow d'un groupe $G$ sont tous conjugués entre eux. Donc l'action de $G$ par conjugaison sur l'ensemble des $p$-Sylow est transitive (i.e. n'a qu'une seule orbite).
2) Si le noyau de $\varphi$ est $G$ alors $\varphi$ est trivial (morphisme constant) et alors $G$ agit trivialement, c'est-à-dire que les éléments sont inchangés par l'action d'un quelconque élément $g$ de $G$. Or ce n'est pas le cas ici car l'action est transitive donc deux $p$-Sylow distincts ($H$ et $K$) sont dans la même orbite (il existe $g\in G$ tel que $gHg^{-1}=K$).
Est-ce plus clair ?
Alain



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a cinq jours et a été effectuée par AD.
Re: Nombre de 3-sous-groupes de Sylow
il y a cinq jours
Bonjour Alain,

Merci beaucoup pour ton aide, c'est tout clair maintenant!

Bonne journée!
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