sur une suite exponentielle

Paulo Alexandre BARBOSA · December 2017

Bonjour
Tout d'abord je tiens à préciser que je suis plus qu'un amateur. J'ai un niveau terminale en mathématique (bac E en 1984). Je fais des mathématiques pour m'amuser. Je suis informaticien aussi.

J'étudie une suite numérique exponentielle.
Elle est de la forme f(x+1) = a exp ( f(x) / a) dont voici 2 séries :

a : 8,16,256,340282366920938463463374607431768211456,etc... avec f(0)=8 et a=2
b : 9,27,19683,etc avec f(0)=9 et a=3

J'arrive à calculer les termes de la suite pour des entiers, dans la série a par exemple :

f(0)=8 f(1)=16 f(2)=256 f(3)=8,16,256,340282366920938463463374607431768211456 etc..

Je cherche à en déduire le calcul de f(x+d) avec 0<d<1 ou dit autrement f(r) ou r est un réel ou décimal au moins ...

Je ne vois pas du tout comment procéder.
Si vous pouviez me mettre sur une voie, une piste.
Merci de me lire.
Cordialement
Paulo BARBOSA

Maxtimax · December 2017

Comment ça en déduire ? $f(r)$ pourrait être n'importe quoi :-S

Paulo Alexandre BARBOSA · December 2017

Bonsoir Maxtimax,
Merci de votre réponse...
N'importe quoi ? Peut-être ?
Même si la contrainte de la suite s'applique pour tout r : f(r+1) = a exp ( f(r)/a ) ?
Merci de votre aide.
Paulo

gb · December 2017

Bonjour,

La contrainte permet de passer r à r+1, et de r à r-1 si on inverse la vapeur...

On prend f au hasard sur [0,1[, la contrainte permet de déterminer f successivement sur [1,2[, puis [2,3[, [3,4[, ..., et on peut éventuellement repartir dans l'autre sens pour déterminer f sur [-1,0[, puis [-2,1[, [-3,-2[, ...

Paulo Alexandre BARBOSA · December 2017

Bonsoir gb,

Merci.

Je n'ai pas bien compris votre réponse.

Comment faites vous ?

Paulo

gerard0 · December 2017

Si tu choisis f(0,5)=2, tu obtiens une suite f(0,5), f(1,5), f(2,5) ...
Si tu choisis f(0,5)=5, tu obtiens une suite f(0,5), f(1,5), f(2,5) ... différente
Si tu choisis f(0,5)=-1,3, tu obtiens une suite f(0,5), f(1,5), f(2,5) ... encore différente

Tu devrais étudier la différence entre une suite numérique et une fonction numérique. En fait, tu définis une suite, même si on peut noter une suite comme une fonction (c'est une fonction, mais définie seulement tous les 1).

Cordialement.

Maxtimax · December 2017

Je n'avais pas compris que c'était pour tout $x$. Dans ce cas, ce que gb dit est correct: la valeur de $f(r)$ n'a aucun rapport avec celle de $f(r')$ dès lors que $r,r' \in [n, n+1[$ pour un entier $n$ (ou en fait un réel). Ainsi, on peut choisir $f$ quelconque sur $[0,1[$, et pour $x$ réel quelconque, on dit que $\overline{f}(x) = u_{\lfloor x \rfloor }( \{x \})$ où $\lfloor x \rfloor$ désigne la partie entière de $x$, $\{x \}$ sa partie fractionnaire, et où pour $l \in [0;1[$, $u_n(l)$ est définie par $u_0(l)= f(l)$ et $u_{n+1}(l) = a e^{u_n/a}$.

gb · December 2017

Je choisis $a=1$ pour simplifier l'écriture de la contrainte : $f(x+1) = \exp(f(x))$ dont je me sers sous la forme : $f(x) = \exp(f(x-1))$.

Si je choisis : $f(x)=0$ pour $x\in[0,1[$, alors :

pour $x\in[1,2[$ : $f(x-1) = 0 \implies f(x) = 1$ ;

pour $x\in[2,3[$ : $f(x-1) = 1 \implies f(x) = e$ ;

pour $x\in[3,4[$ : $f(x-1) = e \implies f(x) = e^e$ ;

pour $x\in[4,5[$ : $f(x-1) = e^e \implies f(x) = e^{e^e}$ ;

etc.

Si je choisis : $f(x)=x$ pour $x\in[0,1[$, alors :

pour $x\in[1,2[$ : $f(x-1) = x-1 \implies f(x) = e^{x-1}$ ;

pour $x\in[2,3[$ : $f(x-1) = e^{x-2} \implies f(x) = e^{e^{x-2}}$ ;

pour $x\in[3,4[$ : $f(x-1) = e^{e^{x-3}} \implies f(x) = e^{e^{e^{x-3}}}$ ;

etc.

Paulo Alexandre BARBOSA · December 2017

Je m' aperçois que ma question n'est pas assez précise, voir éronnée.

Ce que je cherche à calculer ce n'est pas le f(r) mais plutôt le r qui donnerait par exemple dans la série a :

f(r)=9 , r est l'inconnu et 1<r<2

f(r)=115, r inconnu et 2<r<3

Merci de votre soutien.
Paulo

Paulo Alexandre BARBOSA · December 2017

Merci à vous deux.

Je vois que je me suis complètement "vautré" dans mon descriptif.

Je n'ais pas ou plus l'habitude des notations mathématiques.

Je ne voulais pas dire la fonction exp mais élévation à la puissance :

Un+1= a puissance ( Un / a) et a différent de 1 (désolé)..

Désolé je le note un peu comme un informaticien (comme dans du code) et je n'arrive pas à faire les indices et exposants sur ce forum... (ha les débutants...).

Et du coup j'aimerais réussir à calculer n pour Un+1=17 dans la série a par exemple.

J'espère que je me suis pas encore "planté" dans ma description.

Merci
Paulo

gb · December 2017

Le problème ne vient pas de la forme mathématique du passage de $n$ à $n+1$.

Travailler avec $f(x+1)=a^{f(x)/a}$ ne change rien au fait qu'une graine quelconque plantée en $[0,1[$ germera pour donner un plant qui envahira successivement les intervalles $[1,2[$, puise $[2,3[$, ...

Paulo Alexandre BARBOSA · December 2017

merci gb

ta dernière réponse m'a fait sourire.
je suis un jardinier débutant aussi et j'adore les plantes...

mais si j'ai bien compris le calcul qui consiste à dire je prend un f(x) au hasard et j'obtiens son f(x + ou - n) en répétant le +1 ou -1 je pense y arriver.

quoique le -je n'ais pas la formule si tu l'as ??? (doit y avoir du log ou de la racine la dedans...)

mais ce qui m'intéresse c'est le x pour un f(x)=n différent des f(x) ou x est entier car ceux là je les ai.

J'espère que mes explications sont compréhensibles... (pas sûr..).

Merci
Paulo

La je vais dormir. A plus et encore merci beaucoup.

jean lismonde · December 2017

bonjour

les jardiniers ont bien le droit de fréquenter les forums mathématiques
mais attention aux plantes sauvages et aux écritures mathématiques absconses !
pour se faire comprendre il vaut mieux respecter le sens des termes et éviter les formules caduques

bienvenue malgré tout, et à l'occasion présente nous de belles fleurs mathématiques !

cordialement

PS : on se réjouit tous du retour de gb !

gerard0 · December 2017

Bonjour.

Si j'ai bien compris, tu définis une fonction dépendant de deux paramètres a et b par l'équation fonctionnelle $f_{a,b}(x+1)=a^{\tfrac{f_{a,b}(x)}a}$ et par $f(0)=b$.
Cette fonction n'est parfaitement définie qu'en les entiers, par la relation récurrente que tu donnes. En prenant n'importe quelle fonction $g$ définie sur $[0,1[$ et vérifiant $g(0)=b$ tu obtiendras une solution possible. En effet, ta relation ne dit rien de $f_{a,b}(x)$ pour $x$ compris entre 0 et 1.

Ne confonds pas avec l'extension des puissances entières aux puissances quelconques que tu as rencontrée en terminale. Les conditions sur les puissances (disons d'un $a>0$) sont nombreuses et on y rajoute la continuité de la fonction obtenue.

Cordialement.

sur une suite exponentielle

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