idéal d'un sous-anneau

Bonjour

J'ai une extension d'anneaux $A\hookrightarrow B$ et $\xi\in B$, on sait que l'ensemble des polynômes de $B[X]$ s'annulant en $\xi$ est un idéal principal de $B[X]$, c'est le noyau du morphisme $\psi: B[X]\longrightarrow B$ qui envoi $P$ sur sa valeur en $\xi$, la restriction de $\psi$ à $A[X]$ est un morphisme d'anneaux, son noyau est l'ensemble des polynômes de $A[X]$ nuls en $\xi$ qui est aussi $(X-\xi)B[X]\cap A[X]$.
Je me demande alors si cet idéal de $A[X]$ est principal ou non

Cordialement