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idéal d'un sous-anneau

Envoyé par karochta 
idéal d'un sous-anneau
il y a six jours
Bonjour

J'ai une extension d'anneaux $A\hookrightarrow B$ et $\xi\in B$, on sait que l'ensemble des polynômes de $B[X]$ s'annulant en $\xi$ est un idéal principal de $B[X]$, c'est le noyau du morphisme $\psi: B[X]\longrightarrow B$ qui envoi $P$ sur sa valeur en $\xi$, la restriction de $\psi$ à $A[X]$ est un morphisme d'anneaux, son noyau est l'ensemble des polynômes de $A[X]$ nuls en $\xi$ qui est aussi $(X-\xi)B[X]\cap A[X]$.
Je me demande alors si cet idéal de $A[X]$ est principal ou non

Cordialement
Re: idéal d'un sous-anneau
il y a six jours
Non. Exemple à travailler :
$$
A = \Z[2i] = \Z \oplus 2i\Z, \qquad B = \Z[i\rbrack, \qquad \xi = i
$$
Faire attention au fait que $i \notin A$. Voici trois polynômes $F, G, H \in A[X]$ qui s'annulent en $\xi = i$ :
$$
F = X^2 + 1, \qquad G = 2X - 2i, \qquad H = 2iX + 2
$$
L'idéal de $A[X]$ constitué des polynômes $P$ tels que $P(i) = 0$ est engendré par $(F,G,H)$. Et n'est principal.
Re: idéal d'un sous-anneau
il y a six jours
Merci claude quitté, très clair
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