Trigonométrie dans [-pi ; pi]
Bonjour à tous
Pour ceux qui ne me connaissent pas, je suis un jeune adulte en reprise d'étude, et je suis les cours de remise à niveau en mathématiques au CNAM (MVA911 et MVA912). J'ai déjà posté dans ce forum ou j'avais reçu une gentille réponse qui m'avait bien débloquée (une histoire de valeur absolue...)
Aujourd'hui, j'ai un petit blocage sur la résolution d'une équation trigonométrique. Voici l'énoncé.
Résoudre dans [-pi ; pi] l'équation 1-cos(2x) + sin(x) = 0
Voici ce que j'ai fait jusqu’à présent.
1-cos(2x) + sin(x) = 0 peut s'écrire 1-(1-2sin²(x)) + sin(x) = 0
1-1 + 2sin²(x) + sin(x) = 0
2sin²(x) + sin(x) = 0
On pose X = sin(x)
On a 2X² + X = 0
Il s'agit d'un trinôme du second degré, de la forme ax² + bx + c avec a=2, b=1 et c = 0;
Je vous épargne le calcul du discriminant et des racines du polynôme :
x0 = -1/2
x1 = 0
2sin²(x) + sin(x) = 0 <=> sin(x) = -1/2 OU sin(x) = 0
2sin²(x) + sin(x) = 0 <=> sin(x) = sin(-pi/6) OU sin(x) = sin(0)
1er cas :
sin(x) = sin(-pi/6) <=> x = -pi/6 +2kp OU x = pi + pi/6 +2k'pi
sin(x) = sin(-pi/6) <=> x = -pi/6 +2kp OU x = 7pi/6 +2k'pi
2eme cas :
sin(x) = sin(0) <=> x = 2kp OU x = pi + 2k'pi
Conclusion : Dans R, S = {-pi/6 +2kpi ; 0 + 2kpi ; pi + 2kpi ; 7pi/6 + 2kpi }
J'ai testé ces quatre solutions avec ma calculatrice dans l'équation de départ, je retombe bien sur 0 à chaque fois. Mon problème, c'est que j'ai résolu l'équation dans R et non dans l'intervalle demandé ! Même en enlevant la généralisation +2kpi, 7pi/6 ne fait toujours pas parti de [-pi ; pi].
Est-ce que je dois simplement exclure cette solution de l'ensemble des résultats ? Ou bien y a-t-il des calculs supplémentaires à faire ?
Je vous remercie par avance et vous souhaite une bonne fin de journée
J.
Pour ceux qui ne me connaissent pas, je suis un jeune adulte en reprise d'étude, et je suis les cours de remise à niveau en mathématiques au CNAM (MVA911 et MVA912). J'ai déjà posté dans ce forum ou j'avais reçu une gentille réponse qui m'avait bien débloquée (une histoire de valeur absolue...)
Aujourd'hui, j'ai un petit blocage sur la résolution d'une équation trigonométrique. Voici l'énoncé.
Résoudre dans [-pi ; pi] l'équation 1-cos(2x) + sin(x) = 0
Voici ce que j'ai fait jusqu’à présent.
1-cos(2x) + sin(x) = 0 peut s'écrire 1-(1-2sin²(x)) + sin(x) = 0
1-1 + 2sin²(x) + sin(x) = 0
2sin²(x) + sin(x) = 0
On pose X = sin(x)
On a 2X² + X = 0
Il s'agit d'un trinôme du second degré, de la forme ax² + bx + c avec a=2, b=1 et c = 0;
Je vous épargne le calcul du discriminant et des racines du polynôme :
x0 = -1/2
x1 = 0
2sin²(x) + sin(x) = 0 <=> sin(x) = -1/2 OU sin(x) = 0
2sin²(x) + sin(x) = 0 <=> sin(x) = sin(-pi/6) OU sin(x) = sin(0)
1er cas :
sin(x) = sin(-pi/6) <=> x = -pi/6 +2kp OU x = pi + pi/6 +2k'pi
sin(x) = sin(-pi/6) <=> x = -pi/6 +2kp OU x = 7pi/6 +2k'pi
2eme cas :
sin(x) = sin(0) <=> x = 2kp OU x = pi + 2k'pi
Conclusion : Dans R, S = {-pi/6 +2kpi ; 0 + 2kpi ; pi + 2kpi ; 7pi/6 + 2kpi }
J'ai testé ces quatre solutions avec ma calculatrice dans l'équation de départ, je retombe bien sur 0 à chaque fois. Mon problème, c'est que j'ai résolu l'équation dans R et non dans l'intervalle demandé ! Même en enlevant la généralisation +2kpi, 7pi/6 ne fait toujours pas parti de [-pi ; pi].
Est-ce que je dois simplement exclure cette solution de l'ensemble des résultats ? Ou bien y a-t-il des calculs supplémentaires à faire ?
Je vous remercie par avance et vous souhaite une bonne fin de journée
J.
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Réponses
$2x^2+x=0$
PS:
On peut résoudre cette équation en dessinant un cercle trigonométrique et en connaissant la valeur remarquable de la fonction sinus pour un certain angle.
Il est vrai que :
mais \(\dfrac{7\pi}6-2\pi=-\dfrac{5\pi}6\) fait bien partie de l'intervalle \([-\pi,\pi]\).
Petit truc, il faut être plus rapide sur la résolution de l'équation du second degré: quand tu en es arrivé à
\[2\sin^2(x) + \sin(x) = 0,\]
il faut factoriser le premier membre et écrire cette équation sous la forme :
\[\sin(x)\bigl(2\sin(x) + 1\bigr) = 0,\]
ce qui permet d'en déduire les deux cas :
\begin{align*} \sin(x) &= 0, & \sin(x) &= -\frac12 \end{align*}
Comme le dit Fin de partie, dessiner un cercle trigonométrique pour visualiser les solutions est une très bonne chose.
Attention, dans \([-\pi,\pi]\), le premier cas conduit à trois solutions, le second cas à deux solutions
Merci pour vos éclaircissements. En effet, en passant par la factorisation, j'arrive au même résultat et c'est tout de même moins laborieux !
En dessinant sur le cercle trigonométrique, je vois bien les deux solutions de sin(x) = 1/2. Je crois comprendre également que la solution qui me manque pour le deuxième cas est x = -pi. En revanche je ne vois pas comment je peux déterminer cette solution par le calcul.
Concernant votre transformation du 7pi/6 en -2pi, vous avez cherché à obtenir la mesure principale de cet angle, c'est bien cela ?
Merci encore pour votre temps, c'est très apprécié.
J.
Par ailleurs, $-\pi+\pi=0$ et $\pi+\pi=2\pi$
Une solution sur le demi-cercle de gauche est \(\pi-x\), ce qui fournit pour l'exercice \(\pi\) et \(7\pi/6\). Mais cette solution est dans \([\pi/2,3\pi/2]\) : on obtient ainsi les solutions dans « le tour » de \(-\pi/2\) à \(3\pi/2\), et les solutions que l'on voudrait dans \([-\pi,-\pi/2]\) sont obtenues dans \([\pi,3\pi/2]\), c'est-à-dire « avec un tour de trop » sur le cercle trigonométrique.
Pour se ramener dans \([-\pi,-\pi/2]\), on soustrait \(2\pi\) aux valeurs obtenues : \(7\pi/6 - 2\pi = -5\pi/6\), et le tour est joué.
Attention, lorsqu'on fait un tour, on a le même point au départ et à l'arrivée : \(\pi\) et \(-\pi\) correspondent au même point du cercle trigonométrique, alors que, pour les autres valeurs obtenues, on sort de l'intervalle \([-\pi,\pi]\) en faisant un tour.
Je pense avoir compris. Dessiner un cercle trigonométrique et placer mes deux cas dessus m'a beaucoup aidé.
Au final, je trouve S = { -pi; -5pi/6; -pi/6; 0; pi }
Merci beaucoup de m'avoir aidé.
Bonne soirée
J.