Intersection de deux plans dans R^4

iziab
iziab
dans Algèbre
Bonjour,

On considère deux plans :
le premier a pour équations $-3x-y+4t=3$ et $-z+t=4$,
le deuxième a pour équations $4x-4z+t=20$ et $5x-4z=20$.
Et on cherche l'intersection des deux.

Le problème c'est que quand je pose un point qui appartient aux deux plans je trouve des valeurs pour toutes les variables, or un point ne peut pas être intersection de deux plans... Comment faire ?

Merci d'avance :)

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Pourquoi un point ne pourrait-il pas être l'intersection de deux plans ? Sais-tu dans quels espace vivent tes plans ?
  • iziab
    iziab
    Ce sont des plans de R4.
    Si l'intersection de deux plans peut être un point je veux bien qu'on m'explique :-)
  • Bruno
    Bruno
    Bonjour.

    C'est une application du théorème des dimensions : si $F$ et $G$ sont deux sous espaces de $E$, alors :\[dim(F) + dim(G) = dim(E) + dim(F \cap G)\]Il ne te reste qu'à faire le calcul pour voir que $F \cap G$ est le sous-espace nul.

    Bruno
  • iziab
    iziab
    Ah merci beaucoup ! Donc l'intersection de mes deux plans est vide. Mais comment l'intersection de deux plans peut être un point ?
  • Poirot
    Poirot
    @iziab : dans $\mathbb R^4$ deux plans vectoriels peuvent ne s'intersecter qu'en $0$, justement car la dimension de leur intersection peut être nulle (ce qui ne peut pas se produire dans $\mathbb R^3$ par exemple). Comment obtiens-tu que ton intersection est vide ?
  • Bruno
    Bruno
    Iziab : a écrit:
    Donc l'intersection de mes deux plans est vide
    Justement pas dans ce cas : elle peut être vide si les plans sont parallèles ou réduite à un point.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Attention, nul ne veut pas dire vide !
    Bruno t'a répondu en pensant à des sous-espaces vectoriels, or dans ton exercice tu as des plans affines.
    L'intersection de deux plans affines dans $\R^4$ est en général un point (comme tu t'en es aperçu, on a un système de quatre équations linéaires à quatre inconnues, qui a en général une unique solution).
  • gerard0
    gerard0
    Iziab suit-il le même cours que Le_débutant ?
  • iziab
    iziab
    Je n'avais pas fait le lien avec les espaces affines, j'ai trop l'habitude des espaces vectoriels. Je comprends mieux maintenant, merci beaucoup a tous !

    gerard0 : Oui sûrement ! :D
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