Déterminant

Bonsoir à tous.
Pourriez-vous m'éclairer sur ces quelques notions ? Je ne sais pas vraiment si j'ai répondu totalement aux questions qui étaient posées ?

Soit $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel, de dimension $n$ muni de la base $(e_1,\ldots,e_n), \ n\in\mathbb{N}$.
Soient $n$ vecteurs de $E$ dont la décomposition dans la base $(e_1,\ldots,e_n)$ est la suivante : $\forall i \in {1,\ldots,n},\ v_i =\displaystyle\sum_{j=1}^{n} v_{ij}e_j$, avec $v_{ij}$ des nombres réels.

Question 1. - La première chose qu'on demande est la définition de l'application déterminant dans la base $(e_1,\ldots,e_n)$ de $E^n$ dans $\mathbb{R}$.

Question 2. - La seconde est que, à partir de la définition donnée, il faut calculer le déterminant dans la base $(e_1,\ldots,e_n)$ des $n$ vecteurs $(v_1,\ldots,v_n)$, en termes des nombres $v_{ij}$.

Pour la question 1, est-ce qu'il s'agit simplement de dire qu'il existe une et une seule forme $n$-linéaire alternée que j'appelle $\Delta$ sur $E$ et telle que : $\Delta(e_1,\ldots,e_n) =1$ ?

Quant à la question 2, est-ce qu'il s'agit de poser cash la définition du déterminant avec les permutations, ie. $\displaystyle\det_\mathcal{B}(v_1,\ldots,v_n)=\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_n}\varepsilon(\sigma) v_{\sigma(1),1}\ldots v_{\sigma(n),n}$ ? Ou faut-il expliquer que pour toute forme $n$-linéaire $\varphi$ alternée sur $E$, on a : $\varphi=\varphi(e_1,\ldots,e_n)\times \Delta$ et expliciter ?

Merci pour vos suggestions,
analysemaths