Réduction de Jordan et tableaux de Young

Bonjour,
Pour étudier la classe de similitude d'une matrice $A$ nilpotente (sous l'action de $GL_{n}(\mathbb C)$ par conjugaison), on peut montrer qu'elle est caractérisée par son diagramme de Young $(\lambda_1,\ldots,\lambda_m)$ où $\lambda_i=\dim\big(\ker(A^i)\big)-\dim\big(\ker(A^{i-1})\big)$. Pour cela, on construit une base de $\mathbb C^n$ de sorte à ce que $A$ soit semblable à une matrice avec des blocs de Jordan dont on sait qu'il y a exactement $\lambda_k-\lambda_{k+1}$ blocs de Jordan de taille $k$. On démontre ainsi la réduction de Jordan et on obtient que deux matrices nilpotentes sont semblables si et seulement si elles ont le même diagramme de Young.
Ma question concerne l'unicité d'une telle décomposition de Jordan (à l'ordre près des blocs) à partir de ce résultat. Mon raisonnement est le suivant. Je montre par récurrence que le diagramme de Young d'une réduite de Jordan est $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ où $\lambda_i$ est le nombre de blocs de Jordan de taille $\geq i$. Ainsi, deux matrices réduites de Jordan sont dans la même orbite si et seulement si elle sont égales. Et on obtient donc l'unicité dans la réduction de Jordan.
Je me demandais s'il n'y avait pas une méthode plus directe étant donné que le calcul du diagramme de Young d'une réduite de Jordan n'est pas direct ?
Merci pour vos avis.