Réduite de Jordan

Non, ça ne suffit pas.
$\newcommand{\Id}{\rm Id}$

Voici la méthode :
pour tout $\lambda\in{\rm Sp}_K(u)$, on construit un tableau à $r_\lambda$ étages formé de vecteurs de $E$ comme suit. Pour toute valeur propre $\lambda$, on calcule $\ker\bigl((u-\lambda\Id_E),\ker\bigl((u-\lambda\Id_E)^2\bigr),\ldots, \ker\bigl((u-\lambda\Id_E)^{r_\lambda}\bigr).$ Ici, $r_\lambda$ est la plus petite puissance telle que $\ker\bigl((u-\lambda\Id_E)^{r_\lambda}\bigr)$ soit de dimension $m_\lambda,$ où $m_\lambda$ est la multiplicité de $\lambda$ dans le polynôme caractéristique. De plus manière équivalente, $r_\lambda$ est la multiplicité de $\lambda$ dans le polynôme minimal.

On choisit tout d'abord des vecteurs formant une base d'un supplémentaire de $\ker\bigl((u-\lambda\Id_E)^{r_\lambda-1}\bigr)$ dans $\ker\bigl((u-\lambda\Id_E)^{r_\lambda}\bigr)$, et on les dispose en ligne au dernier étage.
On applique ensuite $u-\lambda\Id_E$ à ces vecteurs, et on complète cette nouvelle famille en une base d'un supplémentaire de $\ker\bigl((u-\lambda\Id_E)^{r_\lambda-2}\bigr)$ dans $\ker\bigl((u-\lambda\Id_E)^{r_\lambda-1}\bigr)$, que l'on dispose à l'étage du dessous. On répète le procédé jusqu'à obtenir une base de $\ker(u-\lambda\Id_E)$ que l'on dispose au rez-de-chaussée.
On renumérote ensuite les vecteurs en commençant par parcourir la colonne la plus à droite de bas en haut, puis en recommençant le procédé avec la colonne voisine de gauche, jusqu'à épuisement des colonnes. On recolle alors toutes les familles de vecteurs obtenues ainsi pour chaque valeur propre, et on obtient une base de Jordan de $u$.

Voyons. Le cas où on a le plus d'ambiguïtés possible, c'est quand il n'y a qu'une valeur propre, disons $0$... Le polynôme caractéristique n'apprend rien, c'est $X^{\dim}$. Le polynôme minimal donne la taille du plus grand bloc et la multiplicité géométrique, c'est-à-dire la dimension du noyau, donne le nombre de blocs. Écrivons toutes les partitions de $5$ et vérifions qu'il n'y a pas deux partitions ayant le même nombre de parts et la même plus grande part.
\[\underbrace{5}_{1\ \text{p.}}=\underbrace{4+1=3+2}_{2\ \text{parts}} =\underbrace{3+1+1=2+2+1}_{3\ \text{parts}}=\underbrace{2+1+1+1}_{4\ \text{parts}} =\underbrace{1+1+1+1+1}_{5\ \text{parts}}.\]
C'est encore vrai en dimension $6$, on peut distinguer par leur plus grande part les partitions qui ont le même nombre de parts :
\begin{align*}6&=\underbrace{5+1=4+2=3+3}_{2\ \text{parts}}
=\underbrace{4+1+1=3+2+1=2+2+2}_{3\ \text{parts}}\\
&=\underbrace{3+1+1+1=2+2+1+1}_{4\ \text{parts}}
=\underbrace{2+1+1+1+1}_{5\ \text{parts}}
=\underbrace{1+1+1+1+1+1}_{6\ \text{parts}}.\end{align*}
En revanche, en dimension $7$, on a les partitions $3+3+1=3+2+2$ qui définissent des matrices ayant même polynôme minimal $X^3$ et même dimension du noyau égale à $3$.

Il n'y a qu'à compter. La dimension du noyau (espace propre) d'un bloc de Jordan $J_d$ (ou $J_d(\lambda)$) vaut $1$. Si l'espace se découpe en somme directe de sous-espaces stables, la dimension du noyau est la somme des dimensions des noyaux des restrictions.

Plus prosaïquement, il n'y a qu'à regarder une matrice nilpotente diagonale par blocs de Jordan : toutes les colonnes non nulles sont linéairement indépendantes puisque les coefficients non nuls sont sur des lignes différentes. Il n'y a qu'à compter les colonnes nulles : il y en a une par bloc.

Pour la notation, $J_d=J_d(0)$ et $J_d(\lambda)$ est la matrice de taille $d\times d$ suivante :
\[\let\l=\lambda J_d(\lambda)=\begin{pmatrix}\l&1&0&\cdots&0\\0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\\vdots&&\ddots&\ddots&1\\0&\cdots&\cdots&0&\l\end{pmatrix}.\]

Il y a aussi l'algorithme amusant de Pittelkow-Runckel pour déterminer une base de "jordanisation"

lien: http://www.math.bas.bg/serdica/1981/1981-348-353.pdf

@daniel.fr
Tu as posé une question sur la décroissance de la suite des sauts des dimensions des noyaux itérés (d'un endomorphisme nilpotent $u$). Cela fait beaucoup de ``de'', j'en conviens. Et je t"ai répondu sur ce point là. Si tu montres que $\overline u$ est injectif (cf mon post pour la notation), tu obtiendras le fait que la dimension de l'espace de départ de $\overline u$ est inférieur ou égal à la dimension de son espace d'arrivée. I.e. tu obtiendras :
$$
\dim \ker u^{i+1} - \dim \ker u^ i \le \dim \ker u^i - \dim \ker u^{i-1}
$$
C'est bien ce que tu voulais, non ?

@daniel.fr
Tu parles ``du'' supplémentaire. Un supplémentaire n'est pas unique. Il faut donc dire $\dim \ker u^{i+1} - \dim \ker u^i$ est la dimension de n'importe quel supplémentaire de $\ker u^i$ dans $\ker u^{i+1}$. Et un tel supplémentaire n'est pas le quotient $\ker u^{i+1} /\ker u^i$ : ces deux espaces ne peuvent pas être comparés au sens de l'égalité. Ce qui est vrai, c'est qu'en notant $\pi_i$ la projection canonique :
$$
\pi_i : \ker u^{i+1} \twoheadrightarrow \ker u^{i+1} / \ker u^i
$$
alors la restriction de $\pi_i$ à n'importe quel supplémentaire $S_i$ de $\ker u^i$ dans $\ker u^{i+1}$ induit un isomorphisme de $S_i$ sur $\ker u^{i+1} / \ker u^i$, ce qui fait (bis) que :
$$
\dim S_i = \dim (\ker u^{i+1} / \ker u^i) = \dim \ker u^{i+1} - \dim\ker u^i
$$

La dimension des sous-espaces $\ker(u-\lambda id_E)^k, k\geq 1$ pour toute valeur propre $\lambda$ suffit, oui.

La donnée de la suite des dimensions $\bigl(\dim\ker(u-\lambda\mathrm{id}_E)^k\bigr)_{k\in\N}$ détermine la suite des différences $\bigl(\dim\ker(u-\lambda\mathrm{id}_E)^k-\dim\ker(u-\lambda\mathrm{id}_E)^{k-1}\bigr)_{k\in\N}$ et donc si la deuxième détermine quelque chose, la première aussi. (On convient que $\dim(u-\lambda\mathrm{id}_E)^{-1}=0$.)


Les bases $\mathbf{e}=(e_1,e_2,e_3)$ et $\mathbf{e}'=(e_2,e_3,e_1)$ sont deux bases différentes. Elles ne sont pas « la même base avec un ordre des vecteurs différent ».

Une base tient compte de l'ordre ; changer l'ordre, c'est changer la base. Plus formellement, une base d'un espace vectoriel $E$ de dimension $n$ est une application $\mathbf{e}$ de $\{1,\dots,n\}$ vers $E$. Changer l'ordre des vecteurs, c'est remplacer $\mathbf{e}$ par $\mathbf{e}\circ\sigma$, où $\sigma$ est une bijection de $\{1,\dots,n\}$ dans lui-même. (Dans l'exemple ci-dessus, la première base est décrite par $\mathbf{e}(1)=e_1$, $\mathbf{e}(2)=e_2$, $\mathbf{e}(3)=e_3$ ; la seconde est obtenue en composant par $\sigma$ définie par $\sigma(1)=2$, $\sigma(2)=3$, $\sigma(3)=1$, ce qui donne $\mathbf{e}'(1)=\mathbf{e}(\sigma(1))=\mathbf{e}(2)=e_2$, etc.

Ainsi, s'autoriser à modifier « l'ordre des vecteurs », c'est comme dire que cosinus et sinus sont la même fonction, au motif que si on compose $\cos$ par la bijection $\sigma:\R\to\R$, $x\mapsto x-\frac\pi2$, on trouve la fonction $\sin$.