$GL_n$ ouvert par topologie orbites rang $r$
Bonjour,
Ma question porte sur le corollaire 4.3 (chapitre I) de Caldero & Germoni tome 1. Il est affirmé que l'on pouvait déduire du théorème précédent (4.1) que dans $M_{m,n}(K)$, l'orbite $O_M$ ($M=\max(m,n)$) des matrices de rang maximal était un ensemble ouvert, et que c'était le seul (l'orbite $O_0$ des matrices de rang nul, i.e. l'orbite de la matrice nulle, étant un fermé).
Pour l'aspect fermé de $O_0$, ça me semble OK (si $k>1$, l'adhérence de $O_k$ contient $O_0$ et ces deux ensembles sont disjoints en tant que parties distinctes d'une partition, donc le seul cas où $O_k$ est égal à son adhérence est $k=0$).
Par contre, je bloque pour l'aspect ouvert de $O_M$. Je sais qu'on obtient en général ce résultat de la continuité du déterminant, mais l'intérêt est ici de le déduire de ce qui précède... D'où ma première question : est-ce immédiat ou bien y a-t-il un peu de travail, et dans tous les cas, comment ça se passe ?
(NB : Je sais que si $m=n$ et pour $k<n$, les orbites de rang $k$ sont d'intérieur vide, mais d'une part ça ne prouve toujours pas le résultat, d'autre part ça demande quelques lignes de justification - à mon niveau du moins !)
Deuxième question : la formule de 4.1 donnant l'adhérence de $O_r$ permet de déduire que $O_M$ est dense dans $M_{p,n}$ (puisque la réunion des orbites est égale à l'ensemble tout entier, ou dit autrement qu'une matrice a forcément un rang compris entre $0$ et $M$...). Pourquoi ce résultat ne figure pas dans les corollaires ? Il est extrêmement classique pour $m=n$ (démonstration classique via les valeurs propres...).
Enfin, puisque $O_0$ est fermé, $O_M$ est ouvert et qu'entre les deux, les ensembles ne sont ni ouverts (car d'intérieur vide) ni fermés (d'après le corollaire), est-ce que l'on passe "continûment" (ou "en douceur") de l'un à l'autre en devenant de moins en moins ouvert et de plus en plus fermé ? Y a-t-il un moyen de mesurer cette progression ? (Peut-être que la suite du livre répond à cette question mais je n'ai pas trop le temps de m'y plonger pour le moment...)
Merci pour vos éclaircissements :-) !
Ma question porte sur le corollaire 4.3 (chapitre I) de Caldero & Germoni tome 1. Il est affirmé que l'on pouvait déduire du théorème précédent (4.1) que dans $M_{m,n}(K)$, l'orbite $O_M$ ($M=\max(m,n)$) des matrices de rang maximal était un ensemble ouvert, et que c'était le seul (l'orbite $O_0$ des matrices de rang nul, i.e. l'orbite de la matrice nulle, étant un fermé).
Pour l'aspect fermé de $O_0$, ça me semble OK (si $k>1$, l'adhérence de $O_k$ contient $O_0$ et ces deux ensembles sont disjoints en tant que parties distinctes d'une partition, donc le seul cas où $O_k$ est égal à son adhérence est $k=0$).
Par contre, je bloque pour l'aspect ouvert de $O_M$. Je sais qu'on obtient en général ce résultat de la continuité du déterminant, mais l'intérêt est ici de le déduire de ce qui précède... D'où ma première question : est-ce immédiat ou bien y a-t-il un peu de travail, et dans tous les cas, comment ça se passe ?
(NB : Je sais que si $m=n$ et pour $k<n$, les orbites de rang $k$ sont d'intérieur vide, mais d'une part ça ne prouve toujours pas le résultat, d'autre part ça demande quelques lignes de justification - à mon niveau du moins !)
Deuxième question : la formule de 4.1 donnant l'adhérence de $O_r$ permet de déduire que $O_M$ est dense dans $M_{p,n}$ (puisque la réunion des orbites est égale à l'ensemble tout entier, ou dit autrement qu'une matrice a forcément un rang compris entre $0$ et $M$...). Pourquoi ce résultat ne figure pas dans les corollaires ? Il est extrêmement classique pour $m=n$ (démonstration classique via les valeurs propres...).
Enfin, puisque $O_0$ est fermé, $O_M$ est ouvert et qu'entre les deux, les ensembles ne sont ni ouverts (car d'intérieur vide) ni fermés (d'après le corollaire), est-ce que l'on passe "continûment" (ou "en douceur") de l'un à l'autre en devenant de moins en moins ouvert et de plus en plus fermé ? Y a-t-il un moyen de mesurer cette progression ? (Peut-être que la suite du livre répond à cette question mais je n'ai pas trop le temps de m'y plonger pour le moment...)
Merci pour vos éclaircissements :-) !
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Réponses
Le fait que l'orbite $\mathcal{O}_M$ soit dense ne résulte pas directement de la propriété que c'est un ouvert. (Par exemple, dans $\R$, l'ouvert $\R^{+*}$ n'est pas dense.) Il se trouve que c'est un ouvert pour la topologie de Zariski et que dans un espace affine, tout ouvert de Zariski non vide est dense : le résultat est donc vrai mais c'est pour d'autres raisons. Cette propriété est strictement plus forte que l'encadrement du rang entre $0$ et $M$.
Pour la troisième question, bof non. La propriété que partagent toutes ces orbites, c'est d'être localement fermées, c'est-à-dire ouvertes dans leur adhérence.
Reste la question "pourquoi le resultat ... ne figure pas parmi les corollaires?", la reponse serait: parce qu'il est dans la proposition II-1.4 dans un contexte plus approprié. Mais c'est vrai qu'on aurait pu l'annoncer juste après. Des fois, on espère que le lecteur qui a lu le I va a un moment lire le II :-)
Donc la déduction est effectivement assez élémentaire. Je cherchais effectivement si le complémentaire de $O_M$ pouvait être fermé mais je n'ai pas percuté sur le coup le fait - pourtant élémentaire avec tout ce qui a été vu avant ! - que ce complémentaire était la réunion des $O_k$ pour $k<M$ (car les orbites sont disjointes, argument utilisé à plusieurs reprises...).
Par contre, je ne comprends pas la première phrase du paragraphe suivant. Plus précisément, je n'ai pas l'impression d'avoir dit que l'orbite était dense parce qu'elle était ouverte, dans l'explication que j'ai donnée (qui est : l'adhérence de l'orbite maximale est égale, par la formule de 4.1, à la réunion des matrices de tous les rangs possibles, donc finalement à l'espace tout entier, d'où la densité).
Pour ce qui est de la topologie de Zariski que j'ai déjà rencontrée sans l'étudier, je note tout cela et je regarderai un peu plus tard, merci pour les infos.
@Working Class Hero : OK, je regarderai également dès que j'aurai un moment... et le tome II sous la main :-) !
Pour la suite, je suppose que II, c'est le numéro du chapitre et pas du volume.
Merci.