un nombre positif

Bonjour,

Soit $S$ une matrice symétrique positive d'ordre $d$ et de rang $r$. Soit $(L,M,P)$ une décomposition de Cholesky de $S$, c'est-à-dire que $L$ est une matrice $r \times r$ triangulaire inférieure inversible, $M$ est une matrice $(d-r) \times r$, et $P$ est une matrice de permutation d'ordre $d$, le tout tel que $PSP^t = CC^t$ où $C = \begin{pmatrix} L & 0 \\ M & 0 \end{pmatrix}$ ; on a aussi, en posant $\widetilde{C} = \begin{pmatrix} L & 0 \\ M & I_{d-r} \end{pmatrix}$, l'égalité $S={(\widetilde{C}^tP)}^tI_d^r \widetilde{C}^tP$ où $I_d^r=\begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

On définit les matrices $Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & P \end{pmatrix}$ et $\widetilde{S} = QSQ^t$ et le vecteur $u = L^{-1}\widetilde{S}_{1, 2:(r+1)}^t$.

Pourquoi a-t-on $\widetilde{S}_{1,1} \geq \sum_{i=1}^r u_i^2$ ?