Produit scalaire hermitien [L3]

Bonjour à tous,

Soit $(E,(.|.))$ l'espace préhilbertien des fonctions $\mathcal{C}^\infty$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$ à décroissance rapide (ie. $\rightarrow 0$ en $\pm \infty$ plus vite que l’inverse de tout monôme $x^{-n}$), et : $(f,g)\mapsto (f|g)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{f}(x)g(x)\mathrm{d}x$.

a) soit $a : y\mapsto a[y]$ avec $a[y](x)=y’(x)+xy(x)$ l’opérateur linéaire sur $E$. Déterminer l'adjoint de $a$.
b) soit $a^\dagger : y\mapsto a^\dagger[y](x)$ l’opérateur linéaire sur $E$ tel que $a^\dagger[y](x)=-y’(x)+xy(x)$. Calculer $M=\displaystyle\frac{1}{2}aa^\dagger$ et $N=\displaystyle\frac{1}{2}a^\dagger a$. En déduire que $M – N = \mathrm{Id}_E$.
c) soit la fonction définie par $f_0(x)=\displaystyle e^{-\frac{x^2}{2}} (f_0\in E)$. Calculer $a[f_0]$ et $f_1=a^\dagger[f_0]$.
d) $\forall n\in \mathbb{N}$, on définit par récurrence $f_{n+1}=a^\dagger[f_n]$. En se servant de $M – N = \mathrm{Id}_E$, montrer que $a[f_{n+1}]=2(n+1)f_n$. En déduire que $f_n$ est un vecteur propre de $N$ associé à la valeur propre $n$.
e) montrer que $N$ est autoadjoint. En déduire la valeur du produit scalaire hermitien $(f_{n_1}|f_{n_2}), n_1\neq n_2$.

Mes réponses :
a) pour l’adjoint, j’ai trouvé : $a^\star[g] = xg(x)-g’(x)$. Correct ?
b) j’ai calculé $M = \displaystyle\frac{1}{2} a[a^\dagger[y]](x)=\frac{1}{2}\left[-y’’(x)+xy’(x)+x’y(x)+x(-y’(x)+xy(x))\right]$, puis j’ai trouvé pour $N=\displaystyle\frac{1}{2} a^\dagger[a[y]](x)=\frac{1}{2}\left[-y’’(x)-xy’(x)-x’y(x)+x(y’(x)+xy(x))\right]$. Mais en faisant la différence, je ne trouve ce qui est demandé dans l’énoncé.
Pouvez-vous m'aider à trouver ce qui ne va pas ? (si vous voulez mes calculs intermédiaires, n'hésitez pas à me les demander).
c) j'ai trouvé $a[f_0]=0$ et $f_1=2x e^{-\frac{x^2}{2}}$. Correct ?
d) d'après la récurrence donnée dans l'énoncé, j'ai écrit $a[f_{n+1}]=a[a^\dagger[f_n]]$, mais ensuite, je suis un peu perdu sur comment procéder. Des indications ne seraient pas de refus.
e) il faut montrer que $N=N^\star$ à priori... Pour la suite, faudrait que j'y réfléchisse.

Merci à tous ceux qui prendront le temps de m'aider
analysemaths.