Déterminant matrice tridiagonale par bloc

euronymous · December 2017

Bonjour, j'essaie de calculer le déterminant de cette matrice de taille $(n\times n) \times (n\times n)$
$$\begin{pmatrix}
A_n & -I_n & 0 & 0 &0&\cdots\\
-I_n & A_n &-I_n &0& 0&\cdots\\
0&-I_n&A_n&-I_n&0&\cdots\\
0&0&-I_n&A_n&-I_n&\cdots\\
&&\ldots\\
\end{pmatrix}, \qquad \text{où}\qquad
A_n =
\begin{pmatrix}

4 & -1 & 0 & 0 &0&\cdots\\
-1 & 4 &-1 &0& 0&\cdots\\
0&-1&4&-1&0&\cdots\\
0&0&-1&4&-1&\cdots\\
&&\ldots\\
\end{pmatrix}
$$ Le calcul du déterminant de $A_n$ ne pose pas de problème (matrice tridiagonale "classique") mais je ne vois pas comment m'en servir pour calculer celui de la matrice par bloc.
Merci d'avance.

Math Coss · December 2017

Souvent, pour calculer le déterminant de $A_n$, on commence par la diagonaliser. Cela donne une matrice inversible $P$ telle que $PA_nP^{-1}$ est diagonale. Si on construit une matrice $Q$ de taille $n^2\times n^2$ en remplaçant chaque coefficient $p_{ij}$ de $P$ par $p_{ij}\mathrm{I}_n$, et que l'on calcule $QB_nQ^{-1}$, où $B_n$ est ta grosse matrice, qu'est-ce que ça donne ?

euronymous · December 2017

Merci pour l'idée mais je n'ai pas calculé le déterminant de An en diagonalisant (j'ai développé selon la première ligne et trouvé une relation de récurrence) et je ne vois pas comment déterminer la matrice de passage P dans le cas général.