Racine carrée d'une matrice (Pb. agrég 2017)

Je pense qu'en passant par la décomposition caractéristique et en se plaçant dans une bonne base pour $A$, on peut se ramener au cas où $A = \lambda\,I + T$ avec $T$ triangulaire supérieure stricte. Ensuite, la racine $R$ que l'on cherche doit être de la forme $\mu\,I + S$ où $S$ est aussi triangulaire, et $\mu$ est l'unique racine carrée de $\lambda$ ayant une partie imaginaire strictement positive. Alors, en partant de la relation $T = 2\lambda\,S+S^2$ et en l'élevant successivement aux puissances $n-1$, $n-2$, ..., on doit pouvoir obtenir l'unicité de $S$.

(Tout cela est sans doute plus simple si on dispose d'une décomposition de Jordan mais je ne crois pas que ce soit au programme de l'interne ?)

Le mot « Jordan » ne figure pas dans le programme de 2015.

Dans les deux corrigés disponibles sur le site de l'UPS, la question est simplifiée et seules les valeurs propres sont considérées, de façon sans doute un peu cavalière. Mais je ne crois pas qu'un argument comme celui de skilveg soit attendu ici.

Sinon, autre tentative : les questions d'avant montrent qu'il existe une racine carrée de $A$ qui soit un polynôme en $A$, notons-la $R$. Si $S$ est une autre racine, alors $S$ commute avec $A$, donc avec $R$. En particulier, $S$ et $R$ peuvent être simultanément supposées triangulaires. Vu les hypothèses sur les valeurs propres, $R\,S^{-1}$ est alors triangulaire, et c'est une racine carrée de l'identité, donc elle est diagonalisable et son spectre est inclus dans $\{\pm 1\}$; vu l'hypothèse sur les parties imaginaires des spectres des racines, $-1$ est exclu et donc $R\,S^{-1}=I$.

Skilveg

Je reviens encore sur le pb 1 d'agrégation 2017 après une longue période où je me suis tourné vers autre chose ...

Je reprends ton message avec ses notations. Tu dis que S et R peuvent être supposées triangulaires. Or, je pense qu'on peut seulement dire qu'il existe une base commune de trigonalisation puisqu'elles commutent. On en déduit que $RS^{-1}$ est trigonalisable sur cette base mais que peut-on en tirer ?
$RS^{-1}$ est effectivement diagonalisable avec valeurs propres $\in \{-1,1\}$, mais rien ne permet pour l'instant de montrer que la seule valeur propre est $1$, ce qui établirait la solution.

J'ai réussi à m'en sortir en démontrant d'abord que les valeurs propres de $R=L^{-1}$ ont une partie réelle >$0$. (Cette preuve me semble indispensable et je suis étonné qu'elle n'ait pas été demandée auparavant dans l'énoncé, ce qui prouve dès lors l'existence d'une racine carrée vérifiant la condition imposée sur les valeurs propres ).

On peut ensuite montrer en utilisant la trigonalisation simultanée de 2 matrices complexes commutantes qu'on a bien $RS^{-1}=I_n.

Tout cela est trop long pour être exposé ici. Si cela intéresse quelqu'un (ainsi que le reste du problème éventuellement), il suffit de me laisser un message.