Reste de division d'un polynôme

Steph_ntic · December 2017

Salut à tous !!!
Je bloque sur un problème...je dois déterminer le reste de le division euclidienne de
X ⁿ par (X-1)²(X-2).
J'essaie d'utiliser la formule de Taylor mais qu'on n'a pas vraiment vue cette formule en classe et que c'est dans des recherches j'ai vue je n'arrive pas à bien comprendre cette formule. S'il y a une formule bien plus claire pour résoudre cet exercice alors merci de me la faire comprendre.
Merci.

Fin de partie · December 2017

Commence par calculer ce reste pour $n=1$,$n=2$,$n=3$,$n=4$,$n=5$.

$x^n=(x-1)^2(x-2)Q_n(x)+R_n(x)$ avec $R_n,Q_n$ des polynômes à coefficients réels et le degré de $R$ est strictement inférieur à $3$.

Le reste de $x^{n+1}$ dans la division euclidienne par $(x-1)^2(x-2)$ est le reste de la division euclidienne de $xR_n(x)$ par $(x-1)^2(x-2)$.

Phare · December 2017

Comme le dit Fin de partie le reste est de degré inférieur ou égal à 2.
Il suffit alors de trouver des conditions vérifiées par les coefficients du reste pour le déterminer.
Pour cela il suffit "d'évaluer " l'équation en x=1 et 2.
Bon ça suffit pas alors il faut dériver et substituer par 2.
Cela te donne un système d'équation vérifiés par les coeffs du reste

Steph_ntic · December 2017

Merci à vous fin de partie et phare. J'ai fait l'exercice mais je n'arrive pas à envoyer.
On me sort un code d'erreur je pense que c'est à cause des symboles que j'ai utilisés.

Steph_ntic · December 2017

néanmoins je trouve que le reste R(X)=(2ⁿ -n-1)X²+(3n-2ⁿ⁺¹+2)X+ 2ⁿ -2n

Fin de partie · December 2017

Tu parles d'envoyer sur le forum?

Pour écrire des formules tu dois encadrer par le signe dollar

exemple de formules:

$x^5-4x+3(1-x)$

obtenue en encadrant x^5-4x+3(1-x)
par le signe dollar (un à gauche, un à droite)

Fin de partie · December 2017

Numériquement ta formule semble être la bonne (j'ai testé pour n=4,5,8,23)

Steph_ntic · December 2017

$merci infiniment phare et fin de partie.
je rédige ce que j'ai trouvé en faisant le briefing de vos idées.

on a Xⁿ= (X-1)²(X-2)Q + R(X)
par suit on a que d°R(X) =< d°(X-1)²(X-2) = 3 donc R(X)= aX²+bX+c on a donc Xⁿ = (X-1)²(X-2)Q + aX²+bX+c

comme l'a signifié fin de partie on a
pour n=1 => 1 = a+b+c
pour n=2 => 2ⁿ =4a+2b+c
puis j'utilise maintenant la dérivé de P. pour avoir un système d’équation.

P'= nX^n-1= 2(X-1)((X-2)Q)) + (X-1)²[(X-2)Q]'+ 2aX+b. bon 2 et 1 annule toujours Q donc je me ferai le plaisir de choisir 1 fin de partie.$

P'(1)= n=2a+b ainsi on a notre système =>

*1=a+b+c

*2ⁿ =4a+2b+c

*n=2a+b.

et on résout le système. j'espère que c'est de ce raisonnement vous parliez tout deux????
merci encore

Fin de partie · December 2017

On peut aussi sans doute démontrer ta formule par une récurrence forte.

On suppose qu'elle est vraie pour k=1,...,N et on montre qu'elle est vraie pour k=N+1.

Il faut se rappeler que prendre le reste est compatible avec l'opération de multiplication des polynômes.

Si A,B sont deux polynômes alors le reste du produit A.B dans la division euclidienne par le polynôme D est le reste du produit AB' dans la division euclidienne par D. B' est le reste de B dans la division euclidienne par D.