exercice automorphisme (niveau PC)

$\alpha(\alpha+1)p = (\alpha+1)\alpha p = (\alpha + 1) (g-id_E)$.

Ça te permet d'exprimer $g^2$ en fonction de $g$ et $id_E$ (sans $p$) et donc de trouver un polynôme annulateur de $g$.

Autre méthode : tu peux étudier la restriction de $g$ aux espaces propres de $p$.

Si l'on transforme la relation : \(p^ 2=p\) en quelque chose du genre: \(ag^2-bg+\mathrm{id}=0\), on en déduit que \(g\) est un automorphisme avec \(g^{-1}=b\mathrm{id}-ag\) tout en restant dans le cadre du programme...

Comme d'habitude quand il s'agit de prouver une bijection $g$, on se donne un élément d'arrivée $y$ et l'on cherche son ou ses antécédent(s) $x$, ici par $g = Id_E + \alpha p$, soit : $y=x+ \alpha p(x)$. Il en résulte : $p(y)=(1+ \alpha) p(x)$.

- Si $\alpha \neq -1$, alors : $p(x)= \frac {1}{1+\alpha} p(y)$, d'où : $x= y- \frac {\alpha}{1+\alpha} p(y)$, unique. On vérifie que ce $x$ convient. On a ainsi prouvé que l’endomorphisme $g$ est un automorphisme, en même temps qu'on a trouvé l’expression de l'automorphisme réciproque : $g^{-1}= Id_E - \frac {\alpha}{1+\alpha} p$.

- Si $\alpha =-1$, alors : $g = Id_E - p$ est aussi un projecteur, qui n'est un automorphisme que s'il est l'identité, soit si $p=0_E$.

Ce raisonnement n'a pas utilisé une hypothèse de dimension de l'espace ambiant. Il est donc valable en dimension finie ou non. Alors que le recours au polynôme minimal ne serait valable qu'en dimension finie

Une remarque. Il n'est pas raisonnable pour un élève de PC ou PSI de croire qu'on lui cache des choses qui lui permettraient de résoudre mieux les problèmes qu'on lui pose. Si on lui pose ces problèmes, c'est qu'ils sont faisables dans le cadre du programme de sa classe, en préparation des problèmes qu'il aura à résoudre lors du concours, dans ce même cadre. Mieux vaut pour lui se concentrer sur le programme de sa classe : il y a déjà bien à faire.

Bonne soirée.
Fr. Ch.

Il faudrait distinguer deux cas suivant que \(\alpha+1\) est nul ou non avant de diviser par \(\alpha+1\).

Sinon la méthode est la même que celle de Chaurien, et conduit à des calculs analogues pour avoir \(g^{-1}\), mais on travaille directement sur les endomorphismes, ce qui évite de faire intervenir les vecteurs \(x\) et \(y\).