décomposition dans R[X]
dans Algèbre
bonjour a tous je ne comprend pas vraiment la décomposition en polynôme irréductible de ces polynômes X2p-1 et X2p+1-1
n-1
(X-1)(X+1) $\prod$ (X2-$(2 cos\frac{2k\pi}{2p}$)X+1)=X2p-1 et
k=1
p
(X-1)$\prod$(X2-$(2cos\frac{2k\pi}{2p+1}$)X+1) = X2p+1-1
k=1
j'ai fait tout mon possible pour les indices du produit mais j'y suis pas arrivé
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Bonjour à tous je ne comprends pas vraiment la décomposition en polynômes irréductibles de ces polynômes $X^{2p}-1$ et $X^{2p+1-1}$.
$\displaystyle (X-1)(X+1) \prod_{k=1}^{n-1} (X^2-(2 \cos\frac{2k\pi}{2p})X+1)=X^{2p}-1$ et
$\displaystyle (X-1)\prod_{k=1}^{p}(X^2-(2\cos\frac{2k\pi}{2p+1})X+1) = X^{2p+1}-1$Je m'excuse encore une fois. il s'agit de la décomposition
Je me tourne donc vers vous pour avoir cette formule et la comprendre.
Merci d'avance (^ ^)
n-1
(X-1)(X+1) $\prod$ (X2-$(2 cos\frac{2k\pi}{2p}$)X+1)=X2p-1 et
k=1
p
(X-1)$\prod$(X2-$(2cos\frac{2k\pi}{2p+1}$)X+1) = X2p+1-1
k=1
j'ai fait tout mon possible pour les indices du produit mais j'y suis pas arrivé
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Bonjour à tous je ne comprends pas vraiment la décomposition en polynômes irréductibles de ces polynômes $X^{2p}-1$ et $X^{2p+1-1}$.
$\displaystyle (X-1)(X+1) \prod_{k=1}^{n-1} (X^2-(2 \cos\frac{2k\pi}{2p})X+1)=X^{2p}-1$ et
$\displaystyle (X-1)\prod_{k=1}^{p}(X^2-(2\cos\frac{2k\pi}{2p+1})X+1) = X^{2p+1}-1$Je m'excuse encore une fois. il s'agit de la décomposition
Je me tourne donc vers vous pour avoir cette formule et la comprendre.
Merci d'avance (^ ^)
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Réponses
Tu es élève de terminale? première?
le symbole $\pi$ s'obtient en encadrant \pi de dollars.
$\exp(\frac{i2k\pi}{n})$ s'obtient en encadrant \exp(i\frac{2k\pi}{n}) de dollars.
Ces racines ont pour images sur le cercle trigonométrique des points qui forment un polygone régulier à $n$ côtés (si n>2)
Ce symbole $\prod$ se comporte comme $\sum$, mais désigne le produit des termes à la place de la somme.
Cordialement.
(*) entre des dollars : \prod
Essaie de comprendre:
http://www.capes-de-maths.com/lecons/lecon20.pdf
Il y a une page Wikipedia sur les racines de l'unité mais je ne l'aime pas.
Cela suppose que tu connaisses les différentes façons de représenter un nombre complexe (en principe c'est du programme de terminale ) représentation algébrique: exemple: $2+i$ ,sous forme exponentielle, exemple: $e^{i\theta}$
Quand un polynôme a plusieurs racines, pense à le signifier grammaticalement. N'oublie pas la ponctuation et les majuscules qui peuvent aider à la bonne compréhension de ton texte.
Cela suppose probablement que tu connaisses quelques relations vérifiées par la fonction cosinus.
Produit $ \Pi_{k=1}^{N}$ code: \Pi_{k=1}^{N} encadré par le signe dollar.
L'idée est de décomposer dans $\mathbb C$, puis, le polynôme initial ($X^m-1$) étant à coefficients complexes, de mettre ensemble et développer le produit des deux facteurs correspondant à des racines complexes conjuguées
Pour m=2n, 1 et -1 sont racines réelles; les autres sont complexes, 2 à 2 conjuguées; pour m=2n+1, 1 est la seule racine réelles, les autres sont complexes, 2 à 2 conjuguées.
Rappel : si c est un complexe, $(X-c)(X-\bar c)=X^2-2Re(c) X+|c|²$
Cordialement.
Ok fin de partie donc si je comprends bien la récurrence est encore plus facile pour décomposer un polynôme de degré n entier en utilisant cette formule.
On a bien $X^{2n}-1=(X^{n}-1)(X^{n}+1)$ qui relie $X^{2n}-1$ à $X^n-1$ mais il y a le facteur $X^n+1$ qui nous embarrasse.
Cordialement.
(*) Oui, ou, c'est toujours la faute de l'ordinateur X:-(
On me demande de trouver tous les polynôme R[X] de la forme
P=3X5-10X3+aX+b ayant un zéro d'ordre et ensuite de décomposer les polynôme obtenus dans R[X].
Mon problème c'est le terme zéro d'ordre je crains qu'il s'agisse de l'ordre de multiplicité... Alors si c'est pas l'ordre de multiplicité de quel ordre s'agit il alors??? Et si c'est l'ordre de multiplicité j'aimerai plus d'information sur cet ordre???
\[\prod_{k=1}^n\Pi^{\Sigma_k}=\Pi^{\sum_{k=1}^n\Sigma_k}.\]
(Moins clair en ligne : $\prod_{k=1}^n\Pi^{\Sigma_k}=\Pi^{\sum_{k=1}^n\Sigma_k}$.) Si on remplace \prod par \Pi et \sum par \Sigma, c'est une catastrophe :
\[\Pi_{k=1}^n\Pi^k=\Pi^{\Sigma_{k=1}^n\Sigma_k}.\]
(En ligne : $\Pi_{k=1}^n\Pi^k=\Pi^{\Sigma_{k=1}^n\Sigma_k}$.)
Edit : page de typographie sans objet : c'était une réaction à ce post qui indiquait qu'on pouvait écrire \Pi pour obtenir $\Pi$, alors que FdP voulait taper \pi pour obtenir $\pi$ et a corrigé après.
Déjà Poirot a dû deviner qu'il s'agissait d'une racine d'ordre $2$, mais de plus le libellé de ce polynôme est suspect.
Poirot comme tu l'as dit j'ai cherché un peu partout mais en vain donc j'ai signalé au prof que l’énoncé de l'exercice avait un problème et il a reconnu puis corrigé j'ai même apporté une modification même au sujet... Il s'agissait d'un polynôme de degré 5 et d'ordre 3.
Math coss pour les indices je n'ai pas bien cerné ce qu'il fallait faire