matrice anti/symétrique complexe nilpotente

Bonjour.

Très bonne question. Plus généralement, on peut se demander quelles matrices complexes sont semblables à une matrice symétrique ou une matrice antisymétrique.

Cette question peut être traitée en utilisant des résultats et méthodes de mon article "Autour du produit de deux matrices antisymétriques" dans la RMS 125-2. En fait ces résultats sont connus depuis un article de Stenzel du début du 20ème siècle.

L'idée est la suivante : une matrice complexe $M$ est semblable à une matrice symétrique (respectivement antisymétrique) si et seulement si $M=P^{-1}AP$ pour une matrice symétrique (resp. antisymétrique) $A$ et une matrice inversible $P$ ; cette dernière identité se récrit $M=(P^TP)^{-1}(P^T AP)$. Comme toute matrice symétrique inversible complexe est congruente à l'identité, la condition voulue est équivalente au fait que $M$ soit le produit de deux matrices symétriques dont la première inversible (respectivement, le produit d'une symétrique inversible par une antisymétrique). La caractérisation de ces matrices est connue, et ce sur n'importe quel corps :

(1) N'importe quelle matrice carrée est produit d'une symétrique inversible par une symétrique (résultat connu depuis Frobenius).

(2) En caractéristique différente de $2$, une matrice carrée $A$ est produit d'une symétrique inversible par une antisymétrique si et seulement si $A$ est semblable à $-A$ et le rang de toute puissance impaire de $A$ est pair. Cela se traduit, en termes de réduite de Jordan, par le fait que $A$ possède autant de blocs de Jordan d'une taille donnée pour $\lambda$ et $-\lambda$, quel que soit $\lambda$ dans une clôture algébrique du corps de base, et que, pour tout entier naturel $k$, le nombre de blocs de Jordan de taille $2k$ pour la valeur propre $0$ soit pair. Si on se limite aux matrices nilpotentes, ce sont celles dont le rang de toute puissance itérée impaire est pair, ou encore celle dont le nombre de blocs de Jordan de taille paire donnée est systématiquement pair.