Automorphismes de $\Bbb C$ d'ordre fini

Bonsoir,

On connaît deux automorphismes de $\Bbb C$ qui sont l'identité et la conjugaison complexe.

Avec l'axiome du choix, je vois comment "construire" des automorphismes de $\Bbb C$ qui soient distincts des deux précédents (par exemple : prendre $K$ le corps de décomposition de $X^3-2$ et $\sigma$ un automorphisme de $K$ qui envoie $2^{\frac{1}{3}}$ sur $j2^{\frac{1}{3}}$ ; prendre une extension intermédiaire $K\subseteq L\subseteq\Bbb C$ telle que $L$ soit transcendante pure sur $K$ et $\Bbb C$ algébrique sur $L$ ; étendre $\sigma$ en un automorphisme de $L$ puis en un automorphisme de $\Bbb C$).

Je me demande comment en "construire" un qui soit d'ordre fini?

Pour ceux que le terme "construire" gênerait, je reformule : comment montrer qu'il existe un automorphisme de $\Bbb C$ d'ordre fini distinct de l'identité et de la conjugaison?

Une première idée, qui découle de l'exemple précédent, serait de répondre à la question suivante. Soit $\tau$ un automorphisme d'un corps $L$ et $M$ une extension algébrique de $L$ : si $\tau$ est d'ordre fini, peut-on l'étendre en un automorphisme d'ordre fini de $M$?

Merci à ceux qui pourront éclairer ma lanterne.