Automorphismes de $\Bbb C$ d'ordre fini
Bonsoir,
On connaît deux automorphismes de $\Bbb C$ qui sont l'identité et la conjugaison complexe.
Avec l'axiome du choix, je vois comment "construire" des automorphismes de $\Bbb C$ qui soient distincts des deux précédents (par exemple : prendre $K$ le corps de décomposition de $X^3-2$ et $\sigma$ un automorphisme de $K$ qui envoie $2^{\frac{1}{3}}$ sur $j2^{\frac{1}{3}}$ ; prendre une extension intermédiaire $K\subseteq L\subseteq\Bbb C$ telle que $L$ soit transcendante pure sur $K$ et $\Bbb C$ algébrique sur $L$ ; étendre $\sigma$ en un automorphisme de $L$ puis en un automorphisme de $\Bbb C$).
Je me demande comment en "construire" un qui soit d'ordre fini?
Pour ceux que le terme "construire" gênerait, je reformule : comment montrer qu'il existe un automorphisme de $\Bbb C$ d'ordre fini distinct de l'identité et de la conjugaison?
Une première idée, qui découle de l'exemple précédent, serait de répondre à la question suivante. Soit $\tau$ un automorphisme d'un corps $L$ et $M$ une extension algébrique de $L$ : si $\tau$ est d'ordre fini, peut-on l'étendre en un automorphisme d'ordre fini de $M$?
Merci à ceux qui pourront éclairer ma lanterne.
On connaît deux automorphismes de $\Bbb C$ qui sont l'identité et la conjugaison complexe.
Avec l'axiome du choix, je vois comment "construire" des automorphismes de $\Bbb C$ qui soient distincts des deux précédents (par exemple : prendre $K$ le corps de décomposition de $X^3-2$ et $\sigma$ un automorphisme de $K$ qui envoie $2^{\frac{1}{3}}$ sur $j2^{\frac{1}{3}}$ ; prendre une extension intermédiaire $K\subseteq L\subseteq\Bbb C$ telle que $L$ soit transcendante pure sur $K$ et $\Bbb C$ algébrique sur $L$ ; étendre $\sigma$ en un automorphisme de $L$ puis en un automorphisme de $\Bbb C$).
Je me demande comment en "construire" un qui soit d'ordre fini?
Pour ceux que le terme "construire" gênerait, je reformule : comment montrer qu'il existe un automorphisme de $\Bbb C$ d'ordre fini distinct de l'identité et de la conjugaison?
Une première idée, qui découle de l'exemple précédent, serait de répondre à la question suivante. Soit $\tau$ un automorphisme d'un corps $L$ et $M$ une extension algébrique de $L$ : si $\tau$ est d'ordre fini, peut-on l'étendre en un automorphisme d'ordre fini de $M$?
Merci à ceux qui pourront éclairer ma lanterne.
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Réponses
Un automorphisme de $\Bbb C$ d'ordre fini est forcément d'ordre $2$ (voir le théorème d'Artin-Schreier). Si je prenais pour $\sigma$ un $3$-cycle (ce qui est possible car le groupe de Galois de $X^3-2$ sur $\Bbb Q$ est $\mathfrak{S}_3$), je n'ai aucune chance de l'étendre en un automorphisme de $\Bbb C$ puisque l'ordre de celui-ci devrait être supérieur à $3$.