Sous-corps premiers

senpai
senpai
dans Algèbre
Bonjour,

Je suis en train de travailler sur les corps mais je n'arrive pas à comprendre vraiment la définition d'un sous-corps premier, pourquoi est-ce-que ce serait le sous-corps engendré par 1 ?
Si quelqu'un pouvait me l'expliquer pour que ce soit plus clair dans ma tête ce serait super, je précise que je n'ai pas de cours la dessus et que je prends juste de l'avance sur le programme !

Merci beaucoup :)

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Tout sous-corps d'un corps $K$ contient $1_K$. En particulier tout sous-corps de $K$ contient le sous-corps engendré par $1_K$. Il s'agit donc nécessairement du plus petit (pour l'inclusion) : c'est le sous-corps premier de $K$.
  • Chaurien
    Chaurien
    C'est plein d'entrain que je suis en train de te répondre. Un corps premier est un corps qui n'a pas de sous-corps autre que lui-même. Alors réfléchis. Il contient $1$ et tous les $\mathbb Z$-multiples de $1$, et alors il y a deux cas selon la caractéristique, etc.
    Bon courage.
    Fr. Ch.
  • gb
    gb
    Bonjour,

    L'élément unité appartient à tout sous-corps : on ne peut donc envisager un sous-corps plus petit que celui engendré par 1.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Une avalanche de messages pendant que j'écrivais. Tant pis, je poste quand même.
    Est-ce que tu peux imaginer un sous-corps d'un corps $K$ qui ne contient pas le sous-corps engendré par $1$ ?
    Ce sous-corps engendré par $1$ est le corps de fractions du sous-anneau engendré par $1$, qui est l'image de l'homomorphisme canonique $\Z\to K$. Après, on discute suivant le noyau de cet homomorphisme, qui est un idéal premier de $\Z$.
  • senpai
    senpai
    Wow merci de m'avoir répondu aussi vite, je pense avoir compris du coup.
    Il faut en effet distinguer selon la caractéristique mais si il est de caractéristique $p$ premier alors je comprends qu'il soit isomorphe à $\Bbb Z/(p)$ mais si il est de caractéristique nulle pourquoi serait-il isomorphe à $\Bbb Q$ ?
  • Poirot
    Poirot
    Si $K$ est de caractéristique $0$, ça veut dire qu'il contient une copie de $\mathbb Z$, qui a pour corps des fractions $\mathbb Q$.
  • gb
    gb
    Lorsqu'un corps \(k\) est de caractérisqtique nulle, l'application \(n \mapsto n.1\) injecte une copie de \(\mathbf{Z}\) dans \(k\), et par suite \(k\) contient un sous-corps isomorphe à \(\mathbf{Q}\)
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