Sous-groupes de (R,+)
Bonsoir,
J'aurais besoin d'un petit coup de pouce pour une question que je ne parviens pas à résoudre.
Le but final de l'exercice est de montrer que les sous groupes de (R,+) sont des parties denses ou discrètes de R.
(Je suis sur la partie visant à montrer qu'ils sont discrets)
Soit G un sous groupe de (R,+) tel que G $\ne${0}. On pose $G_{+} = G \cap R^{*+}$.
J'ai déjà montré que :
- G admet au moins un élément strictement positif.
- $G_{+}$ admet une borne inférieure : $\lambda \ge0$
et on me rappelle que :
si inf(A) = i (A est un ensemble) alors $\forall x \in A, i \leq x$ et $\exists (An) \subset A$ telle que lim An = i.
Je dois maintenant montrer que si $\lambda \notin G_{+}$ alors $\exists a,b \in G$ tels que $\lambda < a < b < \frac{3}{2} \lambda$.
Donc j'ai dit qu'il existe une suite (An) incluse dans $G_{+}$ et tendant vers $\lambda$ car $G_{+}$ admet pour borne inf $\lambda$.
De plus $\frac{3}{2} \lambda$ ne minore pas G (car la borne inf est le plus grand minorant).
Donc $\exists n_{0}, \forall n \ge n_0 , \lambda < An < \frac{3}{2} \lambda$
Donc j'ai au moins un élément qui répond à ma condition mais comment en trouver deux ?
Merci d'avance !
J'aurais besoin d'un petit coup de pouce pour une question que je ne parviens pas à résoudre.
Le but final de l'exercice est de montrer que les sous groupes de (R,+) sont des parties denses ou discrètes de R.
(Je suis sur la partie visant à montrer qu'ils sont discrets)
Soit G un sous groupe de (R,+) tel que G $\ne${0}. On pose $G_{+} = G \cap R^{*+}$.
J'ai déjà montré que :
- G admet au moins un élément strictement positif.
- $G_{+}$ admet une borne inférieure : $\lambda \ge0$
et on me rappelle que :
si inf(A) = i (A est un ensemble) alors $\forall x \in A, i \leq x$ et $\exists (An) \subset A$ telle que lim An = i.
Je dois maintenant montrer que si $\lambda \notin G_{+}$ alors $\exists a,b \in G$ tels que $\lambda < a < b < \frac{3}{2} \lambda$.
Donc j'ai dit qu'il existe une suite (An) incluse dans $G_{+}$ et tendant vers $\lambda$ car $G_{+}$ admet pour borne inf $\lambda$.
De plus $\frac{3}{2} \lambda$ ne minore pas G (car la borne inf est le plus grand minorant).
Donc $\exists n_{0}, \forall n \ge n_0 , \lambda < An < \frac{3}{2} \lambda$
Donc j'ai au moins un élément qui répond à ma condition mais comment en trouver deux ?
Merci d'avance !
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Réponses
Si la suite a \((A_n)\) un seul terme compris strictement entre \(\lambda\) et \(3\lambda/2\), elle a de la peine à converger vers \(\lambda\)...
Et corrige « je dois».
$A_{n}$ tend vers $\lambda$ de plus $\exists n_0, \forall n > n_0 , \lambda < A_{n} < \frac{3}{2} \lambda$
Donc $\exists b$ tel que $ \lambda < b < \frac{3}{2} \lambda$
Pour finir on sait que $G_+$ n'a pas de plus petit élément car $\lambda \notin G_+$ donc il existe nécessairement un autre élément $a$ tel que $\lambda < a < b < \frac{3}{2} \lambda$
Est ce correct?
Merci pour toutes vos réponse :-)
Y a-t-il d'autres questions ?
Oui on me dit ensuite que $\lambda \in G_+$ et $\exists x \in G_+ $ et $x \notin \lambda Z$
Je dois montrer qu'il existe un plus petit entier naturel strictement positif $n_0$ tel que $n_0 \ge \frac{x}{\lambda}$
Je pensais montrer que l'ensemble {$n, n \ge \frac{x}{\lambda}$} admet un plus petit élément qui serait donc $n_0$. Pensez-vous que c'est une bonne piste ?
Tu dois prouver qu'il existe $x \in G_+$ tel que $x \notin \lambda \mathbb Z$ ?
C'est étrange, car si $G$ est discret, ceci n'est pas vrai.
Le mieux serait de donner l'énoncé exact, en entier.
Tu t'es mal exprimé. En fait tu veux prouver qu'en supposant qu'il existe $x \in G_+$, $x \notin \lambda \mathbb Z$, on arrive à une contradiction ?
On veut montrer que les sous-groupes de (R,+) sont des parties denses ou discrètes dans R.
Soit G un sous-groupe de (R,+) tel que G $\ne$ {0}. On pose $G_+ = G \cap R^{*+}$
A) On suppose que $\lambda > 0$
1) a) Montrer que si $\lambda \notin G_+$, alors $\exists a,b \in G$ tels que $\lambda<a<b<\frac{3}{2} \lambda$
b) Contredire alors la définition de $\lambda$ en déduire que $\lambda \in G_+$
2) On suppose qu'il existe x tel que : $x \in G_+$ et $x \notin \lambda Z$
a) Montrez qu'il existe un plus petit entier naturel strictement positif $n_0$ tel que $n_0 \ge \frac{x}{\lambda}$
b) Montrer que si $n_0 \ne \frac{x}{\lambda}$ alors $n_0 \lambda -x \in G_+$. Puis comparer $n_0\lambda -x $ et $\lambda$
c) Contredire alors la définition de $n_0$
d) Montrer ensuite que $G_+ \subset \lambda Z$ puis que $G\subset \lambda Z$ puis que $G = \lambda Z$
(G est ainsi une partie discrète de R)
Les 1)a) et b) sont traitées.
Pour la 2)a) j'ai montré que l'ensemble {$n, n \le \frac{x}{\lambda}$} est minoré par $n_0 = \lfloor\frac{x}{\lambda}\rfloor +1$.
$k\le \lfloor\frac{x}{\lambda}\rfloor \le k+1$
et donc : $0\le x -k\lambda < \lambda$
Comme $\lambda \in G$ et $k \in Z$, $x-k\lambda \in G$ et donc nécessairement = 0 ?
J'avoue que cela s'obscurcit un peu d'autant que les questions que l'on me pose me semblent étranges au regard de ce que l'on souhaite prouver ...
Ah oui effectivement je n'ai pas fait attention pour la partie entière
C'est juste une façon de désigner le sous-groupe, en fin de compte c'est vraiment un sous-groupe discret, mais ça n'intervient pas dans le cours de la solution.
Il fait beau à Fedala ?
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Et voilà, bravo. On a donc prouvé que si $\lambda =\inf G_+>0$, alors $G=\lambda \mathbb Z$.
Je présume que la question suivante demandera de prouver que si $\lambda =\inf G_+=0$, alors $G$ est dense dans $\mathbb R$.
J'en tremble d'avance (:D.
On suppose $\lambda = 0$
Soit x < y $\in R$
1) Montrer que $\exists \epsilon \in G_+$ tel que $0<\epsilon < y-x$
2) Déterminer, en fonction de x et $\epsilon$ le plus petit entier z tel que $\frac{x}{\epsilon} < z$
3) Montrer que $z\epsilon \in G$ et $x < z\epsilon < y$
(G est donc une partie dense dans R)
Donc pour la première $x<y$ donc $y-x>0$ et si G admet une borne inf $\forall a >0 \in G, \exists \epsilon \in G$ tel que $\epsilon < \lambda +a$
En prenant $a=(y-x)$ qui est bien positif on arrive à $0<\epsilon < y-x$
Alors pour la deuxième je dois séparer en deux cas ce qui est un peu embêtant
Si $x > 0$ : $z_0 = \lfloor \frac{x}{\epsilon} \rfloor + 1 $
Si $x < 0$ : $z_0 = \lfloor \frac{x}{\epsilon} \rfloor $
J'ai donc $q\epsilon \le \epsilon x < q\epsilon + \epsilon$
Mais après ...
En fait je ne comprends pas vraiment à quoi sert z ..
Oublie $z$.
Je vais faire une pause et je continuerai demain car mon esprit s'embrume et je me casse la tête sur quelque chose qui ne me semble pas très compliqué ...
Merci $\infty^{\infty}$ fois pour votre aide et pour tout le temps que vous avez passé à m'aider !
et donc $x+\epsilon \ge q\epsilon + \epsilon$
et $y+\epsilon \ge q\epsilon +\epsilon$
soit $y > q\epsilon +\epsilon$
Tu peux rerédiger plus joli.
À propos, c'est pour MPSI ?
Commentaires demain.
Bonne nuit.
Fr. Ch.
Oui je suis en MPSI :-)
Bonne nuit
Quelques remarques.
Partie A
À la question A. 1. a, inutile d'utiliser une suite : la définition originelle de la borne inférieure suffit.
Une fois qu'on a prouvé que $\lambda$ est le plus petit élément de $G_+$, il est immédiat de montrer que $G= \lambda \mathbb Z$. Tu l'as trouvé toi-même avec l'utilisation de la partie entière. On prend un $x \in G$, on le coince entre deux $\mathbb Z$-multiples consécutifs de $\lambda$, et le recours à l'absurde est réduit au strict minimum. C'est plus simple que les suggestions de l'énoncé. Retiens cette méthode, elle s'utilise dans plusieurs démonstrations de monogénéité d'un groupe, infini ou fini.
Partie B
De même, une fois qu'on a prouvé qu'il y a des éléments de $G_+$ aussi proches qu'on veut de $0$, il est immédiat de prouver la densité, avec le Théorème de la Grenouille de mon invention ;-) http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1578662,1578936#msg-1578936
ou plus sérieusement avec la partie entière comme on a dit. Si $0<\epsilon<y-x$ et si $q \epsilon \le x <(q+1) \epsilon$, alors : $q \epsilon \le x <(q+1) \epsilon= q \epsilon + \epsilon <x+(y-x)=y$.
Un dessin le montre bien. Tu représentes sur un axe les points d'abscisses $q \epsilon, x ,(q+1) \epsilon$, et si tu veux placer $y$, avec $y>x$, tu vois bien qu'il ne peut être entre $ x$ et $(q+1) \epsilon$, car ceci contredirait $ \epsilon<y-x$. Ici aussi c'est plus simple que les suggestions de l'énoncé. Et ici aussi cette méthode est à retenir pour des démonstrations de densité.
Conclusion
À toi de voir si tu veux rédiger une solution qui s'écarte de la progression proposée par l'énoncé, pour arriver plus simplement au but.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Prolongement
Désignant par $A$ une partie de $\mathbb R$, un réel $x_0$ est dit intérieur à $A$ s'il existe un réel $r>0$ tel que : $[x_{0}-r,x_{0}-r]\subset A$. Tu n'as sans doute pas encore vu ça, mais c'est dans ton programme MPSI p. 15 : https://www.scei-concours.fr/CPGE/BO/Mathematiques_MPSI.pdf
Par exemple $\mathbb Z$ n'a pas de point intérieur, on dit que cette partie $\mathbb Z$ est d'intérieur vide.
Tu peux prouver qu'une partie de $\mathbb R$ est d'intérieur vide si et seulement si son complémentaire est dense dans $\mathbb R$.
Tu peux prouver que si un sous-groupe additif de $\mathbb R$ a un point intérieur, alors c'est $\mathbb R$ tout entier.
Il en résulte la classification des sous-groupes additifs de $\mathbb R$.Il y a quatre types de sous-groupes additifs $G$ de $\mathbb R$ :
(1) $G=\{0\}$ ;
(2) $G=\mathbb R$ ;
(3) $G=\mathbb Z a,\ a>0$ ;
(4) $G$ dense dans $\mathbb R$ ainsi que son complémentaire $\mathbb R\setminus G$ (autrement dit : $G$ dense dans $\mathbb R$ et d'intérieur vide).Le sous-groupe $\mathbb Z $ est un exemple du type (3), et le sous-groupe $\mathbb Q $ est un exemple du type (4).
Bonne journée.
Fr. Ch.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
[À ton service :-) AD]