Exponentielle de matrices sur $\mathbb{Q}$.

Pour la question 3, Dixon a montré (voir la pièce jointe) comment on peut modifier la preuve classique de l'irrationalité de $\pi$ due à Niven pour montrer que $\pi$ n'est pas algébrique de degré 2.
LP

Est-ce qu'on ne peut pas se servir simplement du fait que $\det(\exp M) = \exp(\operatorname{Tr} M)$ ?

Edit : non, vu ce qu'il se passe dans le cas nilpotent.

$\newcommand{\qq}{\mathbb{Q}}$

Pour la question 2. Soit $u$ l'endomorphisme de $\qq^n$ canoniquement associé à $M$. Il existe toujours une décomposition $\qq^n=V\oplus W$ telle que $u_V$ soit inversible et $u_W$ soit nilpotente.

En effet, si $\chi_M=X^mQ,Q(0)\neq 0,$ on prend $V=\ker(Q(u))$ et $W=\ker(u^m)$.

Par changement de base approprié, on a donc $M=P\begin{pmatrix}A& 0 \cr 0 & N \end{pmatrix}P^{-1}$ avec $A$ et $P$ inversibles et $N$ nilpotente, toutes à coefficients rationnels.

On a donc $e^M=P\begin{pmatrix}e^A& 0 \cr 0 & e^N \end{pmatrix}P^{-1}$. Mais alors, $e^M$ est à coefficients dans $\qq$ si et seulement si $P^{-1}e^MP$ l'est, si et seulement si $e^A$ l'est (puisque $e^N$ l'est). Or, le cas des matrices inversibles est réglé, il me semble...d'après le lien fourni par $LP$, $e^A$ est à coefficients rationnels si et seulement si $A=0$.

D'où le théorème: Une matrice $M$ à coefficients rationnels a une exponentielle à coefficients rationnels si, et seulement si, $M$ est nilpotente.

Edit. Coquille corrigée suite au message de Maxtimax.

Il me semble aussi que le théorème implique que la réponse à 1) est oui.

Si $M$ est à coeffs rationnels et $e^M=I_n$, alors $M$ est nilpotente. Par changement de base, on peut suppsoer que $M$ est sous forme de Jordan. Il suffit alors de voir qu'une cellule de Jordan possède une exponentielle égale à l'identité si et seulement si elle est de taille $1$ , i.e. si et seulement si elle est égale à $(0)$, ce qui découle d'un petit calcul facile.

Sauf erreur, bien sûr, j'ai fait ça de tête...

Bravo killersmile38, c'est joli (tu)

@dSP : J'allais te dire "n'est-ce pas le cas ?", puis je me suis souvenu de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff (enfin de son existence)
Enfin il/elle n'utilise que ça pour la réponse à la question 2, sa réponse à l'autre question convient toujours, me semble-t-il