Proba

Lolipop
Lolipop
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour, pouvez-vous m’aider pour cet exercice svp :
On a X et Y deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi géométrique à valeurs dans N* et p appartient à ]0;1[
Je dois donner la loi de |X-Y|

Donc j’ai dit que P(X=i)=pq^(i-1) et P(Y=j)=pq^(j-1)
Mais ensuite, est ce que dois différencier les cas X>Y et X<Y comme il y a la valeur absolue ?

Merci d’avance

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Tu ne peux pas faire la distinction $X > Y$ ou $Y > X$ en soi, ces choses décrivent explicitement des événements.

    Tu dois calculer $\mathbb P(|X-Y| =k)$ pour tous entiers positifs $k$. Dans ce contexte tu peux en effet décomposer l'événement $\{|X-Y|=k\}$ selon les deux cas.
  • Lucas
    Lucas
    Bonjour,

    Sinon, et sans vouloir te gâcher le plaisir de faire des sommes doubles, tu peux commencer par écrire
    $$
    1=\mathbb{P}(X<Y)+\mathbb{P}(X>Y) +\mathbb{P}(X=Y).
    $$
    Sans les calculer explicitement, tu peux observer que $\mathbb{P}(X<Y)=\mathbb{P}(X>Y)$ (grâce à l'indépendance, car $(X,Y)$ a même loi que $(Y,X)$). Et tu n'as "que" $\mathbb{P}(X=Y)$ à calculer.

    [Edit : pffff... n'importe quoi je me suis trompé de question! Désolé.]
  • Ponctuel
    Ponctuel
    Je ne suis pas sûr que la proposition de Lucas soit réellement hors sujet. Si $k$ est un entier strictement positif,
    $$
    P(|X-Y|=k)= 2P(X=Y+k)=2P(X=Y+k | X>Y)P(X>Y).
    $$
    Le facteur $P(X=Y+k | X>Y)$ a une expression simple (absence de mémoire de la loi géométrique). Le facteur $P(X>Y)$ se calcule simplement comme l'a indiqué Lucas.

    J'espère ne pas dire de bêtise à mon tour, il est un peu tard !
  • Lolipop
    Lolipop
    En fait je dois bien utiliser des sommes doubles
  • jandri
    jandri
    Non, le calcul de $P(X-Y=n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}P(X=k+n,Y=k)$ ne fait pas intervenir de somme double.
  • Lolipop
    Lolipop
    Ok, mais je dois bien faire 2 sommes différentes en fonction de X<Y et X>Y ?
    Pour X<Y, je fais la somme de 1 à l’infini de P(X=i, Y=i+k) et pour X>Y, la somme de 1 à l’infini de P(X=i, Y=i-k)
  • jandri
    jandri
    Comme $X$ et $Y$ suivent la même loi et sont indépendantes on a $P(X-Y=n)=P(Y-X=n)$.
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