norme infinie

Euh... que vaut \(\lVert \exp\rVert_\infty\) dans le cas où : \(E=\mathbf{R}\) ?

Pour définir une norme par la borne supérieure, il vaut mieux travailler avec des fonctions bornées... auquel cas :
\[\lVert f \rVert_\infty = \sup_{x\in E} \lVert f(x) \rVert.\]

Non, non. Si $F$ est un espace vectoriel normé, et si $X$ est un espace topologique, alors on peut définir sur l'espace vectoriel des fonctions continues bornées $X \rightarrow F$ la norme $f \mapsto \sup_{x \in X} \Vert f(x) \Vert$ et on l'appelle norme infinie. Hors de ce contexte, "norme infinie" ça ne veut rien dire.