Degré du polynôme nul

Bonjour,

Soit $P$ et $Q$ deux polynômes. On note $deg(P)$ le degré de $P.$ On a $deg(PQ) = deg(P) + deg(Q)$, n'est-ce pas ?

On note $a$ le degré du polyôme nul. On a, pour tout polynôme $Q$, avec $P$ le polynôme nul, $deg(0 \times Q)=a=a + deg(Q).$ On a donc $a=\infty$ pour conserver cette relation.

Bonjour

Le polynôme nul n'est pas de degré 0. On peut dire qu'il n'a pas de degré, ou qu'il est de degré $-\infty$. Les polynômes de degré 0 sont les polynômes constants non nuls.
(Je suppose que les coefficients sont dans un corps ou dans un anneau commutatif intègre).
Ceci permet de dire que $\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$ dans tous les cas. De même, un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines.

Ahlamsmap, c'est une convention, qui permet de conserver la propriété deg(PQ)=deg(P)+deg(Q), en utilisant les règles de calcul avec -oo suivantes : -oo+(-oo)=-oo et si n est un entier, -oo+n=-oo.

Il n'y a rien de plus à comprendre.

Bonjour,

Précisons aussi que le choix de $-\infty$ au lieu de $+\infty$ est motivé par la volonté de préserver la relation:
$\text{deg}(P+Q) \leq \text{max(deg}(P);\text{deg(Q))}$.
En revanche, la valuation du polynôme nul est déclarée égale à $+\infty$
.

Ou encore, comme $\deg(P) = \max\{n \mid P_n \neq 0\}$ (où $P$ est vu comme une suite de coefficients $P_n$), on peut vouloir conserver ça pour $P=0$, avec $\deg(P) =\sup\{n \mid P_n \neq 0\}.$ Pour $P=0$, on obtient $\deg(P) = \sup\emptyset$, "donc" $\deg(0) = -\infty$ (en se plaçant dans le treillis complet $\mathbb{N}\cup\{-\infty, +\infty \}$, cela devient un vrai "donc")

@ThierryPoma : Attention, je n'ai pas dit que la définition avec le "max" marchait pour le polynôme nul; j'ai dit qu'avec le max ça coïncidait, pour les polynômes non nuls avec le sup. Il semble donc naturel de le définir de manière équivalente comme le sup dans le plus petit treillis complet contenant $\mathbb{N}$ (mais naturel n'est pas une notion mathématique !). Or quand on fait ça et qu'on étend la définition au polynôme nul, on obtient que son degré est $\sup \emptyset$.
Or il est bien connu que dans un treillis borné, de minimum $0$, $\sup \emptyset = 0$ (ici le $0$ c'est $-\infty$). En fait c'est le cas dans n'importe quel ensemble ordonné qui a un minimum

On se place dans $E= \mathbb N \cup \{-\infty, +\infty\}$ (pour l'ordre usuel). Cet ensemble ordonné possède la propriété que "toute partie possède une borne supérieure", c'est à dire que l'ensemble de ses majorants admet un plus petit élément. Pour la partie vide, c'est tout simple: tout élément de $E$ est un majorant, et le plus petit d'entre eux est, guess what, $-\infty$.

Commentaire: je ne suis pas en train de dire que $\deg (0)=-\infty$ parce que "la borne sup". C'est tout le contraire. La propriété $\deg (0)=-\infty$ a été intégrée dans la définition parce que c'est comme cela que cela va bien dans la pratique. Et il reste alors à vérifier que le tout pris ensemble reste cohérent.

On en revient à la définition de base: "faire des maths", ce n'est pas simplement "contempler des maths": il y a une pratique qui fait apparaître que telle ou telle définition est plus intéressante que d'autres.
Cordialement, Pierre.

[$\LaTeX$ fournit la commande \deg. ;-) AD]