Extremums d'une fraction rationnelle

Bonjour,

Soit une fraction rationnelle de la forme f(x) = (bx + c)(a'x² + b'x + c')^-1 avec
b non-nul, a' > 0 et pas de racine commune entre numérateur et dénominateur.

La recherche des solutions de f'(x) = 0 conduit à l'étude du signe de E = a'c² - b(b'c - bc') :
E = 0 est exclus, car cela se produit quand le numérateur et le dénominateur ont un zéro commun
si E > 0, il y a deux extremums potentiels
si E < 0, il n'y a pas d'extremums.

Une étude subséquente montre que :
E < 0 correspond au cas où le dénominateur a deux racines distinctes encadrant la racine du numérateur
E > 0 recouvre trois cas :
(i) le dénominateur a deux racines distinctes n'encadrant pas la racine du numérateur
(ii) le dénominateur a une racine double
(iii) le dénominateur n'a pas de racines réelles.
Dans les cas (i) et (iii) la fraction a un maximum et un minimum ; dans le cas (ii) la fraction a un maximum ou un minimum.

En résumé (sauf erreur de ma part)
Si le dénominateur n'a pas de racines réelles, la fraction a deux extremums ; si le dénominateur a une racine double différant de -c/b, la fraction a un extremum ; si le dénominateur a deux racines x' < -c/b < x'', la fraction n'a pas d'extremum ; si le dénominateur a deux racines x' < x'' < -c/b ou -c/b < x' < x'', la fraction a deux extremums.

Une étude analogue de f(x) = (ax² + bx + c)(a'x² + b'x + c')^-1 montre que le nombre des extremums (0, 1 ou 2) dépend de :
1) l'existence ou non de racines réelles pour les deux trinômes
2) la position du segment des zéros (intervalle défini par les racines du numérateur) par rapport au segment des infinis (intervalle défini par les racines du dénominateur).

A+