Idéaux triviaux et corps
dans Algèbre
Bonjour,
Soit $A$ un anneau commutatif dont les seuls idéaux sont les idéaux triviaux $\{ 0 \}$ et $A$. On suppose en outre que cet anneau est non réduit à $0$. Je dois montrer que $A$ est un corps
J'ai déja $A$ commutatif par hypothèse
J'ai su montrer que $1$ différent de $0$
Il me reste à montrer que $(A^*, \cdot)$ est un groupe. On sait déja que $1$ est son élément neutre. Je ne sais pas trop de où partir pour montrer que la loi est associative et pour le fait que les éléments sont inversibles...
Ca doit être un exercice classique, donc si quelqu'un a un lien vers une éventuelle correction je suis preneur, sinon, avez vous une piste ?
Merci beaucoup !
Soit $A$ un anneau commutatif dont les seuls idéaux sont les idéaux triviaux $\{ 0 \}$ et $A$. On suppose en outre que cet anneau est non réduit à $0$. Je dois montrer que $A$ est un corps
J'ai déja $A$ commutatif par hypothèse
J'ai su montrer que $1$ différent de $0$
Il me reste à montrer que $(A^*, \cdot)$ est un groupe. On sait déja que $1$ est son élément neutre. Je ne sais pas trop de où partir pour montrer que la loi est associative et pour le fait que les éléments sont inversibles...
Ca doit être un exercice classique, donc si quelqu'un a un lien vers une éventuelle correction je suis preneur, sinon, avez vous une piste ?
Merci beaucoup !
Réponses
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Bonjour,
Ton problème : tu as un élément \(x\) non nul dans l'anneau \(A\) et tu veux prouver qu'il est inversible.
Ton outil : la liste des idéaux de \(A\).
La marge de manœuvre est faible : il faut « fabriquer » un idéal de \(A\), et déduire l'inversibilité de \(x\) du fait que cet idéal est \(\lbrace0\rbrace\) où \(A\). -
L'associativité fait partie des hypothèses puisque $A$ est un anneau.
La seule chose à montrer, c'est que tout élément non nul est inversible. Prenons un élément $a$ non nul. Pour exploiter l'hypothèse, il faut fabriquer un idéal, disons, eh bien, $aA$ : que peut-on en dire ? Pour conclure, il nous faut $b$ tel que $ab=1$. Mais comme $ab\in aA$... -
MathCoss, on peut dire que $aA=A$ vu que $a$ et $A$ sont non nuls. Donc comme $1$ est dans $A=aA$, on peut écrire $1=ab$. Ca me parait convaincant ! Merci beaucoup à vous deux ! Je ne me rappelais plus que les $aA$ sont des idéaux...
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Bonjour!
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