Matrice unitaire 2x2
Bonjour
Je cherchais à caractériser la forme générale des matrices unitaires $2\times 2$. À l’aide des propriétés de ces matrices ($M^{-1}=\,{}^t\bar{M}$, déterminant de module $1$ noté $\delta=\mathrm{e}^{i\varphi}$, colonnes formant une base orthonormée), on arrive à la forme suivante (je ne sais si je dois détailler ?) : $$M=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ -\delta \bar{b} & \delta \bar{a} \end{array} \right)$$ avec : $$ |a|^2+|b|^2=1, \quad{} \delta=\mathrm{e}^{i\varphi}
$$ Vu que $ |a|^2+|b|^2=1$, je m’autorise à poser $|a|^2=\cos^2{\theta}$ et $|b|^2=\sin^2{\theta}$. De façon générale, le complexe $a$ peut s’écrire $a=\rho \mathrm{e}^{i\alpha}$. J’en déduis que $a\bar{a}=|a|^2=\rho^2$ et donc que $a=|\cos{\theta}|\mathrm{e}^{i\alpha}$. Et de même, $b=|\sin{\theta}|\mathrm{e}^{i\beta} $.
Bref, j’en arrive à une forme comportant des valeurs absolues des $\sin{\theta}$ et $\cos{\theta}$ : $$
M=\left( \begin{array}{cc} |\cos{\theta}|\mathrm{e}^{i\alpha} & |\sin{\theta}|\mathrm{e}^{i\beta} \\ -\delta |\sin{\theta}|\mathrm{e}^{-i\beta} & \delta |\cos{\theta}|\mathrm{e}^{-i\alpha} \end{array} \right)
$$ On peut modifier facilement cette forme pour retrouver ce qui est indiqué dans la page « Unitary Matrix » de Wikipedia : https://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_matrix mais, ce qui me gêne, c’est que les valeurs absolues ont disparu… Si je fais confiance à l’écriture de Wikipedia, je me demande ce que je n’ai pas pris en compte dans ma petite démonstration ? Pourquoi est-ce que je traîne des valeurs absolues ? Qu’en pensez-vous ?
Je cherchais à caractériser la forme générale des matrices unitaires $2\times 2$. À l’aide des propriétés de ces matrices ($M^{-1}=\,{}^t\bar{M}$, déterminant de module $1$ noté $\delta=\mathrm{e}^{i\varphi}$, colonnes formant une base orthonormée), on arrive à la forme suivante (je ne sais si je dois détailler ?) : $$M=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ -\delta \bar{b} & \delta \bar{a} \end{array} \right)$$ avec : $$ |a|^2+|b|^2=1, \quad{} \delta=\mathrm{e}^{i\varphi}
$$ Vu que $ |a|^2+|b|^2=1$, je m’autorise à poser $|a|^2=\cos^2{\theta}$ et $|b|^2=\sin^2{\theta}$. De façon générale, le complexe $a$ peut s’écrire $a=\rho \mathrm{e}^{i\alpha}$. J’en déduis que $a\bar{a}=|a|^2=\rho^2$ et donc que $a=|\cos{\theta}|\mathrm{e}^{i\alpha}$. Et de même, $b=|\sin{\theta}|\mathrm{e}^{i\beta} $.
Bref, j’en arrive à une forme comportant des valeurs absolues des $\sin{\theta}$ et $\cos{\theta}$ : $$
M=\left( \begin{array}{cc} |\cos{\theta}|\mathrm{e}^{i\alpha} & |\sin{\theta}|\mathrm{e}^{i\beta} \\ -\delta |\sin{\theta}|\mathrm{e}^{-i\beta} & \delta |\cos{\theta}|\mathrm{e}^{-i\alpha} \end{array} \right)
$$ On peut modifier facilement cette forme pour retrouver ce qui est indiqué dans la page « Unitary Matrix » de Wikipedia : https://en.wikipedia.org/wiki/Unitary_matrix mais, ce qui me gêne, c’est que les valeurs absolues ont disparu… Si je fais confiance à l’écriture de Wikipedia, je me demande ce que je n’ai pas pris en compte dans ma petite démonstration ? Pourquoi est-ce que je traîne des valeurs absolues ? Qu’en pensez-vous ?
Réponses
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Il suffit d'incorporer le signe du cosinus (resp. du sinus) dans l'exponentielle en incrémentant \(\alpha\) (resp. \(\beta\)) de \(\pi\).
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Est-ce que tu peux préciser, gb ? Il y a 4 cas possibles selon les signes de cos et sin (les positions de $\theta$ dans les quadrants I, II III, IV). Je ne vois pas bien ce que tu veux dire ...
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On commence par écrire:
\begin{align*}
\lvert\cos\theta\rvert &= \pm\cos\theta & \lvert\sin\theta\rvert &= \pm\sin\theta
\end{align*}
puis, lorsqu'on se retrouve en présence d'un signe « moins » :
\begin{align*}
-e^{i\alpha} &= e^{i(\alpha+\pi)} & -e^{-i\alpha} &= e^{-i(\alpha+\pi)} \\
-e^{i\beta} &= e^{i(\beta+\pi)} & -e^{-i\beta} &= e^{-i(\beta+\pi)}
\end{align*} -
André49 a écrit:Vu que $ |a|^2+|b|^2=1$, je m’autorise à poser $|a|^2=\cos^2{\theta}$ et $|b|^2=\sin^2{\theta}$.
Il est plus simple de dire directement:Vu que \(\lvert a\rvert^2+\lvert b\rvert^2=1\), il existe un unique nombre réel \(\theta\), compris entre \(0\) et \(\pi/2\), tel que:
\begin{align*} \cos\theta &= \lvert a\rvert & \sin\theta &= \lvert b\rvert \end{align*} -
Oui, c'est ça. Par exemple, si on est en quadrant I ou IV, les termes diagonaux s'écrivent $\cos{\theta}\,e^{i\alpha}$ et $\delta\cos{\theta}\,e^{-i\alpha}$. Quand on passe en quadrant II ou III, ils s'écrivent $-\cos{\theta}\,e^{i\alpha}$ et $-\delta\cos{\theta}\,e^{-i\alpha}$. Mais comme on peut choisir $\alpha$ comme on veut, il suffit de remplacer $-1$ par $e^{i\pi}$ et le tout est joué : on peut toujours se retrouver avec des $\cos{\theta}$ sans valeurs absolues... Subtil ! Merci.
-
A vrai dire, sur un terme par $e^{i\pi}$ et sur l'autre terme par $e^{-i\pi}$...
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