Lemme du fer à cheval

yates · December 2017

Bonjour,
J'espère rencontrer un spécialiste en algèbre homologique ici.
Ma question est la suivante : est-ce que c'est possible de généraliser le lemme du fer à cheval aux complexes de chaînes ?
Plus précisément, étant donnée une suite exacte courte de complexes de chaînes, si les extrémités sont quasi-isomorphes à deux complexes d'objets projectives, alors le complexe au centre est quasi-isomophe à une chaîne d'objets projectives.
Merci !

Gaussien · December 2017

Je suppose que tu travailles avec la catégorie $\mathcal{Ch}(\mathcal{A})$ des complexes de chaînes associés à une catégorie abélienne $\mathcal{A}$.

L'idée est que le lemme du fer à cheval est vrai sur des catégories abéliennes. Tu en déduis le cas que tu évoques en remarquant que $\mathcal{Ch}(\mathcal{A})$ est encore abélienne.

Pour la version abélienne du lemme du fer à cheval, je t'invite à regarder la preuve donnée dans An introduction to homological algebra de Weibel : c'est le lemme $2.2.8$.

Le seul point qui risque de te gêner est la validité du lemme du serpent. Mais il reste vrai dans les catégories abéliennes : voir par exemple Categories for the working mathematician de Mac Lane, où il est démontré dans une catégorie abélienne par une chasse au diagramme.

yates · December 2017

C'est incroyable que c'est toujours vrai dans la catégorie des complexes. Merci Gaussien.

yates · December 2017

Mais le problème c'est que je veux changer les objets dans une suite courte par des complexes. Plus présicément, on peut voir un objet comme un complexe placé au degré 0, donc plus généralement pour des complexes bornée, est-ce que le résultat suivant reste vrai : $0 \rightarrow X^. \rightarrow Y^. \rightarrow Z^. \rightarrow 0$ une suite exacte de complexes bornés telle que $ X^. $ est quasi-isomorphe à un complexe bornée d'objets projectives $P^.$ et $Z^.$ est quasi-isomorphe à un autre complexe bornée de projectives $Q^.$, alors $Y^.$ est quasi-isomorphe à une complexes borné d'objets projectives.
Remarque : les objets projectifs ne sont pas des complexes, juste des objets dans la catégorie abélienne $A$.
Merci

Lemme du fer à cheval

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