morphisme injectif d'espaces vectoriels

Phare · December 2017

Bonjour à tous,
cette question est à mi chemin entre algèbre et topologie mais je la pose là quand même.

Etant donné deux espaces vectoriels $E$ et $V$, est il toujours possible de trouver un morphisme injectif de $E$ dans $V$ ou de $V$ dans $E$.
( en tapant cette question je me rends compte que la réponse est oui si l'on admet l'existence de bases pour tout espace vectoriel, mais je suis preneur de toute remarque,commentaire ou d'approche plus "naturelle")

Le cas particulier qui m’intéresse réellement est le suivant:

Soit $E$ l'ensemble des applications continues de [0,1] dans $\mathbb{R}$ et $V $l'ensemble des suites réelles qui tendent vers 0 en l'infini.
On a que $\mathbb{R}[x] \subset V$ et que $\mathbb{R}[x]$ s'injecte naturellement dans $E$.

Appelons f ce morphisme injectif, je cherche alors à étendre f à un morphisme injectif de $V$ dans $E$.
Voyez vous une telle extension(explicite)?

La partie topologique vient du fait que pour la norme infinie $V$ est l'adhérence de $\mathbb{R}[x]$.

Merci d'avance.

Maxtimax · December 2017

Et $E$ est aussi l'adhérence de l'image de $\mathbb{R}[X]$ :-D (je réponds rapidement à ta question générale : la réponse est presque certainement non dans le cas général en n'admettant pas l'existence de bases je pense, donc il te faudrait pour le cas géneral, d'une manière ou d'une autre, utiliser l'axiome du choix)

Malheureusement, $V$ n'est pas complet; et les deux normes en question (norme sup sur $V$ et norme sup sur $E$) ne sont sûrement pas équivalentes sur $\mathbb{R}[X]$; donc l'approche topologique me semble compromise (mais je serais ravi de voir quelqu'un me montrer que j'ai tort)

GaBuZoMeu · December 2017

À une suite de réels $(a_n)$ tendant vers $0$ tu peux associer la série $\sum_n\dfrac{a_n}{n!}x^n$ qui converge normalement sur $[0,1]$. Ça te fournit un morphisme injectif dans l'espace des fonctions continues sur $[0,1]$. Il n'étend pas le morphisme "suite des coefficients" sur $\R[X]$, mais bon ...