morphisme injectif d'espaces vectoriels
Bonjour à tous,
cette question est à mi chemin entre algèbre et topologie mais je la pose là quand même.
Etant donné deux espaces vectoriels $E$ et $V$, est il toujours possible de trouver un morphisme injectif de $E$ dans $V$ ou de $V$ dans $E$.
( en tapant cette question je me rends compte que la réponse est oui si l'on admet l'existence de bases pour tout espace vectoriel, mais je suis preneur de toute remarque,commentaire ou d'approche plus "naturelle")
Le cas particulier qui m’intéresse réellement est le suivant:
Soit $E$ l'ensemble des applications continues de [0,1] dans $\mathbb{R}$ et $V $l'ensemble des suites réelles qui tendent vers 0 en l'infini.
On a que $\mathbb{R}[x] \subset V$ et que $\mathbb{R}[x]$ s'injecte naturellement dans $E$.
Appelons f ce morphisme injectif, je cherche alors à étendre f à un morphisme injectif de $V$ dans $E$.
Voyez vous une telle extension(explicite)?
La partie topologique vient du fait que pour la norme infinie $V$ est l'adhérence de $\mathbb{R}[x]$.
Merci d'avance.
cette question est à mi chemin entre algèbre et topologie mais je la pose là quand même.
Etant donné deux espaces vectoriels $E$ et $V$, est il toujours possible de trouver un morphisme injectif de $E$ dans $V$ ou de $V$ dans $E$.
( en tapant cette question je me rends compte que la réponse est oui si l'on admet l'existence de bases pour tout espace vectoriel, mais je suis preneur de toute remarque,commentaire ou d'approche plus "naturelle")
Le cas particulier qui m’intéresse réellement est le suivant:
Soit $E$ l'ensemble des applications continues de [0,1] dans $\mathbb{R}$ et $V $l'ensemble des suites réelles qui tendent vers 0 en l'infini.
On a que $\mathbb{R}[x] \subset V$ et que $\mathbb{R}[x]$ s'injecte naturellement dans $E$.
Appelons f ce morphisme injectif, je cherche alors à étendre f à un morphisme injectif de $V$ dans $E$.
Voyez vous une telle extension(explicite)?
La partie topologique vient du fait que pour la norme infinie $V$ est l'adhérence de $\mathbb{R}[x]$.
Merci d'avance.
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Réponses
Malheureusement, $V$ n'est pas complet; et les deux normes en question (norme sup sur $V$ et norme sup sur $E$) ne sont sûrement pas équivalentes sur $\mathbb{R}[X]$; donc l'approche topologique me semble compromise (mais je serais ravi de voir quelqu'un me montrer que j'ai tort)
@Gabuzomeu
honêtement ta réponse me va très bien.
Je réflèchis aux implications et je reposte.